Номер 8.12, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.12. Определите знак выражения:

а) $ \text{tg}165^\circ \text{tg}314^\circ \text{tg}353^\circ; $

б) $ \text{ctg}229^\circ \text{ctg}382^\circ \text{tg}(-543^\circ); $

в) $ \text{tg}\frac{\pi}{19} \text{ctg}\frac{43\pi}{8} \text{ctg}\frac{19\pi}{7}; $

г) $ \text{ctg}\left(-\frac{5\pi}{7}\right) \text{tg}\left(-\frac{13\pi}{3}\right) \text{tg}3,1\pi; $

д) $ \text{tg}2\text{ctg}3\text{tg}(-4); $

е) $ \text{ctg}(-1)\text{tg}(-8)\text{ctg}4,5. $

а) tg165°tg314°tg353°; Для определения знака выражения найдем знак каждого множителя.
1. Угол $165^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 165^\circ < 180^\circ$), тангенс в этой четверти отрицателен, следовательно $tg165^\circ < 0$.
2. Угол $314^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 314^\circ < 360^\circ$), тангенс в этой четверти отрицателен, следовательно $tg314^\circ < 0$.
3. Угол $353^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 353^\circ < 360^\circ$), тангенс в этой четверти отрицателен, следовательно $tg353^\circ < 0$.
Произведение трех отрицательных чисел является отрицательным числом: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: знак минус.

б) ctg229°ctg382°tg(-543°); Для определения знака выражения найдем знак каждого множителя.
1. Угол $229^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 229^\circ < 270^\circ$), котангенс в этой четверти положителен, следовательно $ctg229^\circ > 0$.
2. Упростим угол $382^\circ$, используя периодичность котангенса ($360^\circ$): $ctg382^\circ = ctg(360^\circ + 22^\circ) = ctg22^\circ$. Угол $22^\circ$ находится в первой четверти, где котангенс положителен, следовательно $ctg382^\circ > 0$.
3. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-543^\circ) = -tg(543^\circ)$. Упростим угол $543^\circ$, используя периодичность тангенса ($180^\circ$): $543^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 3^\circ$, поэтому $tg(543^\circ) = tg(3^\circ)$. Угол $3^\circ$ находится в первой четверти, где тангенс положителен ($tg3^\circ > 0$). Таким образом, $tg(-543^\circ) < 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: знак минус.

в) tg$\frac{\pi}{19}$ctg$\frac{43\pi}{8}$ctg$\frac{19\pi}{7}$; Для определения знака выражения найдем знак каждого множителя.
1. Угол $\frac{\pi}{19}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{2}$), тангенс здесь положителен: $tg\frac{\pi}{19} > 0$.
2. Для угла $\frac{43\pi}{8}$ выделим целую часть: $\frac{43}{8} = \textbf{5}\frac{3}{8}$. Учитывая период котангенса $\pi$, получаем $ctg\frac{43\pi}{8} = ctg(5\pi + \frac{3\pi}{8}) = ctg\frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти, поэтому $ctg\frac{43\pi}{8} > 0$.
3. Для угла $\frac{19\pi}{7}$ выделим целую часть: $\frac{19}{7} = \textbf{2}\frac{5}{7}$. Учитывая период котангенса $2\pi$, получаем $ctg\frac{19\pi}{7} = ctg(2\pi + \frac{5\pi}{7}) = ctg\frac{5\pi}{7}$. Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$), поэтому $ctg\frac{19\pi}{7} < 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: знак минус.

г) ctg$(-\frac{5\pi}{7})$tg$(-\frac{13\pi}{3})$tg$3,1\pi$; Для определения знака выражения найдем знак каждого множителя.
1. Котангенс — нечетная функция: $ctg(-\frac{5\pi}{7}) = -ctg(\frac{5\pi}{7})$. Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Значит, $ctg(-\frac{5\pi}{7}) > 0$.
2. Тангенс — нечетная функция: $tg(-\frac{13\pi}{3}) = -tg(\frac{13\pi}{3})$. Выделим целую часть: $\frac{13}{3} = \textbf{4}\frac{1}{3}$. Используя период тангенса $2\pi$, $tg(\frac{13\pi}{3}) = tg(4\pi + \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$. Угол $\frac{\pi}{3}$ в первой четверти, $tg(\frac{\pi}{3}) > 0$. Следовательно, $tg(-\frac{13\pi}{3}) < 0$.
3. Используя период тангенса $\pi$, $tg(3,1\pi) = tg(3\pi + 0,1\pi) = tg(0,1\pi)$. Угол $0,1\pi$ находится в первой четверти, поэтому $tg(3,1\pi) > 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: знак минус.

д) tg2ctg3tg(-4); Для углов в радианах используем приближения $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.
1. Угол $2$ радиана находится во второй четверти ($1,57 < 2 < 3,14$), тангенс здесь отрицателен: $tg2 < 0$.
2. Угол $3$ радиана находится во второй четверти ($1,57 < 3 < 3,14$), котангенс здесь отрицателен: $ctg3 < 0$.
3. Тангенс — нечетная функция: $tg(-4) = -tg(4)$. Угол $4$ радиана находится в третьей четверти ($3,14 < 4 < 4,71$), тангенс здесь положителен. Следовательно, $tg(-4) < 0$.
Произведение трех отрицательных чисел отрицательно: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: знак минус.

е) ctg(-1)tg(-8)ctg4,5. Используем приближения для $\pi$ и его долей.
1. Котангенс — нечетная функция: $ctg(-1) = -ctg(1)$. Угол $1$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < 1,57$), котангенс здесь положителен. Следовательно, $ctg(-1) < 0$.
2. Тангенс — нечетная функция: $tg(-8) = -tg(8)$. Упростим угол, используя период $2\pi \approx 6,28$: $tg(8) = tg(8-2\pi) \approx tg(1,72)$. Угол $1,72$ радиана находится во второй четверти ($1,57 < 1,72 < 3,14$), где тангенс отрицателен. Значит, $tg(-8) = -tg(8) > 0$.
3. Угол $4,5$ радиана находится в третьей четверти ($3,14 < 4,5 < 4,71$), котангенс здесь положителен: $ctg4,5 > 0$.
Произведение знаков: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: знак минус.