Номер 8.13, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.13. Известно, что $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Сравните с нулем значение выра-жения:

a) $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$;
б) $\text{tg}^2\alpha - \text{ctg}^3\alpha$.

По условию задачи, угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $. Этот интервал соответствует IV (четвертой) координатной четверти на тригонометрической окружности.

В IV четверти значения основных тригонометрических функций имеют следующие знаки: $ \sin \alpha < 0 $ (синус отрицателен), $ \cos \alpha > 0 $ (косинус положителен). Исходя из этого, определим знаки тангенса и котангенса: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0 $ (тангенс отрицателен), $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0 $ (котангенс отрицателен).

а) $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha$;

Для сравнения значения выражения с нулем определим его знак. Поскольку угол $ \alpha $ находится в IV четверти, оба слагаемых, $ \operatorname{tg}\alpha $ и $ \operatorname{ctg}\alpha $, являются отрицательными числами. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha < 0 $.

Альтернативное решение заключается в преобразовании выражения: $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha} $. Знаменатель дроби $ \sin\alpha \cos\alpha $ является произведением отрицательного числа ($ \sin\alpha < 0 $) и положительного числа ($ \cos\alpha > 0 $), поэтому знаменатель отрицателен. Числитель дроби равен 1 (положительное число). Частное от деления положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

б) $\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha$.

Определим знаки уменьшаемого и вычитаемого. Уменьшаемое: $ \operatorname{tg}^2\alpha $. Так как $ \operatorname{tg}\alpha < 0 $, то его квадрат $ \operatorname{tg}^2\alpha = (\operatorname{tg}\alpha)^2 $ будет положительным числом ($ \operatorname{tg}^2\alpha > 0 $). Вычитаемое: $ \operatorname{ctg}^3\alpha $. Так как $ \operatorname{ctg}\alpha < 0 $, то его нечетная степень (куб) $ \operatorname{ctg}^3\alpha = (\operatorname{ctg}\alpha)^3 $ будет отрицательным числом ($ \operatorname{ctg}^3\alpha < 0 $).

Выражение $ \operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha $ представляет собой разность положительного и отрицательного чисел. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного: $ (\text{положительное число}) - (\text{отрицательное число}) = (\text{положительное число}) + (\text{положительное число}) $. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, $ \operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha > 0 $.
Ответ: значение выражения больше нуля.