Номер 8.15, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.15. Верно ли, что:

а) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\text{tg}\frac{\pi}{4}$;

б) $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\text{ctg}\frac{\pi}{3}$;

в) $\text{tg}\frac{2\pi}{3}=\text{tg}\frac{\pi}{3}$;

г) $\text{ctg}\frac{\pi}{2}=\text{ctg}\frac{3\pi}{2}$?

а) Для проверки верности равенства $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4}$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенс. Функция $y = tg(x)$ является нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $tg(-x) = -tg(x)$.

Докажем это свойство: $tg(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)} = \frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tg(x)$.

Поскольку равенство $tg(-x) = -tg(x)$ является тождеством, то оно верно и для $x = \frac{\pi}{4}$.

Также можно проверить равенство, вычислив значения функций в левой и правой частях:

• Левая часть: $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
• Правая часть: $-tg\frac{\pi}{4} = -(1) = -1$.

Так как $-1 = -1$, равенство верно. Ответ: Да, верно.

б) Для проверки верности равенства $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg\frac{\pi}{3}$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенс. Функция $y = ctg(x)$ является нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $ctg(-x) = -ctg(x)$.

Докажем это свойство: $ctg(-x) = \frac{cos(-x)}{sin(-x)} = \frac{cos(x)}{-sin(x)} = -ctg(x)$.

Поскольку равенство $ctg(-x) = -ctg(x)$ является тождеством, то оно верно и для $x = \frac{\pi}{3}$.

Также можно проверить равенство, вычислив значения:

• Левая часть: $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
• Правая часть: $-ctg\frac{\pi}{3} = -(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, равенство верно. Ответ: Да, верно.

в) Для проверки верности равенства $tg\frac{2\pi}{3} = tg\frac{\pi}{3}$ воспользуемся формулой приведения. Аргумент $\frac{2\pi}{3}$ можно представить как $\pi - \frac{\pi}{3}$.

Формула приведения для тангенса: $tg(\pi - x) = -tg(x)$.

Применим ее: $tg\frac{2\pi}{3} = tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -tg\frac{\pi}{3}$.

Исходное равенство утверждает, что $tg\frac{2\pi}{3} = tg\frac{\pi}{3}$, а мы получили, что $tg\frac{2\pi}{3} = -tg\frac{\pi}{3}$. Поскольку $tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \neq 0$, то $tg\frac{\pi}{3} \neq -tg\frac{\pi}{3}$. Следовательно, исходное равенство неверно.

Проверим вычислением:

• Левая часть: $tg\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
• Правая часть: $tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Так как $-\sqrt{3} \neq \sqrt{3}$, равенство неверно. Ответ: Нет, неверно.

г) Для проверки верности равенства $ctg\frac{\pi}{2} = ctg\frac{3\pi}{2}$ воспользуемся свойством периодичности функции котангенс. Основной период функции $y = ctg(x)$ равен $\pi$. Это означает, что $ctg(x + \pi k) = ctg(x)$ для любого целого $k$.

Представим аргумент $\frac{3\pi}{2}$ как $\frac{\pi}{2} + \pi$.

Тогда $ctg\frac{3\pi}{2} = ctg(\frac{\pi}{2} + \pi)$. Согласно свойству периодичности (при $k=1$), $ctg(\frac{\pi}{2} + \pi) = ctg\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, исходное равенство верно.

Проверим вычислением:

• Левая часть: $ctg\frac{\pi}{2} = \frac{cos(\pi/2)}{sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$.
• Правая часть: $ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{cos(3\pi/2)}{sin(3\pi/2)} = \frac{0}{-1} = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верно. Ответ: Да, верно.