Номер 8.16, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.16. Вычислите:

а) $tg \frac{3\pi}{4}$;

б) $ctg \frac{7\pi}{6}$;

в) $tg \left(-\frac{5\pi}{3}\right)$;

г) $ctg \left(-\frac{19\pi}{6}\right)$;

д) $tg \frac{2\pi}{3}$;

е) $ctg \frac{19\pi}{6}$;

ж) $tg \left(-\frac{7\pi}{3}\right)$;

з) $ctg \frac{21\pi}{4}$.

а) Для вычисления $ \tg\frac{3\pi}{4} $ представим угол в виде разности, используя табличное значение угла $ \frac{\pi}{4} $. Затем применим формулу приведения $ \tg(\pi - \alpha) = -\tg\alpha $.

$ \tg\frac{3\pi}{4} = \tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg\frac{\pi}{4} $

Так как $ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $, получаем:

$ -\tg\frac{\pi}{4} = -1 $

Ответ: -1.

б) Для вычисления $ \ctg\frac{7\pi}{6} $ выделим целую часть из дроби в аргументе функции: $ \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $. Таким образом, $ \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} $. Далее используем формулу приведения $ \ctg(\pi + \alpha) = \ctg\alpha $.

$ \ctg\frac{7\pi}{6} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{6}) = \ctg\frac{\pi}{6} $

Так как $ \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $, получаем:

$ \ctg\frac{7\pi}{6} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $.

в) Для вычисления $ \tg(-\frac{5\pi}{3}) $ сначала воспользуемся свойством нечетности тангенса: $ \tg(-\alpha) = -\tg\alpha $. Затем, для упрощения аргумента $ \frac{5\pi}{3} $, используем периодичность тангенса (период $ T=\pi $, поэтому можно прибавлять или вычитать любое целое число $ k\pi $). Удобно представить $ \frac{5\pi}{3} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $.

$ \tg(-\frac{5\pi}{3}) = -\tg(\frac{5\pi}{3}) = -\tg(\textbf{2}\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tg(-\frac{\pi}{3}) $

Снова применяя свойство нечетности, получаем:

$ -(-\tg\frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $.

г) Для вычисления $ \ctg(-\frac{19\pi}{6}) $ используем свойство нечетности котангенса $ \ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha $ и его периодичность (период $ T=\pi $). Выделим целую часть из дроби в аргументе.

$ \frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = \textbf{3}\pi + \frac{\pi}{6} $

$ \ctg(-\frac{19\pi}{6}) = -\ctg(\frac{19\pi}{6}) = -\ctg(\textbf{3}\pi + \frac{\pi}{6}) $

Так как период котангенса равен $ \pi $, то $ \ctg(k\pi + \alpha) = \ctg\alpha $ для любого целого $ k $. Следовательно:

$ -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} $

Ответ: $ -\sqrt{3} $.

д) Для вычисления $ \tg\frac{2\pi}{3} $ представим угол в виде разности $ \pi - \frac{\pi}{3} $ и применим формулу приведения $ \tg(\pi - \alpha) = -\tg\alpha $.

$ \tg\frac{2\pi}{3} = \tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tg\frac{\pi}{3} $

Так как $ \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $, получаем:

$ -\tg\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $

Ответ: $ -\sqrt{3} $.

е) Для вычисления $ \ctg\frac{19\pi}{6} $ используем периодичность котангенса (период $ T=\pi $). Как и в пункте г), выделим целую часть в аргументе.

$ \frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi+\pi}{6} = \textbf{3}\pi + \frac{\pi}{6} $

Используя свойство периодичности $ \ctg(k\pi + \alpha) = \ctg\alpha $:

$ \ctg(\frac{19\pi}{6}) = \ctg(\textbf{3}\pi + \frac{\pi}{6}) = \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $.

ж) Для вычисления $ \tg(-\frac{7\pi}{3}) $ используем свойство нечетности тангенса $ \tg(-\alpha) = -\tg\alpha $ и его периодичность (период $ T=\pi $). Выделим целую часть в аргументе.

$ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi+\pi}{3} = \textbf{2}\pi + \frac{\pi}{3} $

$ \tg(-\frac{7\pi}{3}) = -\tg(\frac{7\pi}{3}) = -\tg(\textbf{2}\pi + \frac{\pi}{3}) $

Поскольку период тангенса $ \pi $, то $ \tg(2\pi + \alpha) = \tg(\alpha) $:

$ -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $

Ответ: $ -\sqrt{3} $.

з) Для вычисления $ \ctg\frac{21\pi}{4} $ используем периодичность котангенса (период $ T=\pi $). Выделим целую часть в аргументе.

$ \frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi+\pi}{4} = \textbf{5}\pi + \frac{\pi}{4} $

Используя свойство периодичности $ \ctg(k\pi + \alpha) = \ctg\alpha $:

$ \ctg(\frac{21\pi}{4}) = \ctg(\textbf{5}\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

Ответ: 1.