Номер 8.19, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.19. Углом какой четверти является угол, если выражение $\sqrt{\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha}$ имеет смысл?

Для того чтобы выражение $\sqrt{\tg\alpha \cdot \cos\alpha}$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком тангенса должно быть определено. Функция $\tg\alpha$ определена при всех $\alpha$, кроме тех, где $\cos\alpha = 0$. Следовательно, $\cos\alpha \neq 0$. Это означает, что угол $\alpha$ не может заканчиваться на вертикальной оси OY, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. То есть, $\tg\alpha \cdot \cos\alpha \geq 0$.

Рассмотрим второе условие подробнее. Используем определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и подставим его в неравенство:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha \geq 0$

Так как из первого условия мы знаем, что $\cos\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь, умножив левую часть на $\cos\alpha$. В результате неравенство упрощается до:

$\sin\alpha \geq 0$

Теперь нам нужно найти такие координатные четверти, в которых одновременно выполняются оба условия:

• $\sin\alpha \geq 0$
• $\cos\alpha \neq 0$

Условие $\sin\alpha \geq 0$ выполняется для углов, которые находятся в I и II координатных четвертях, а также на оси OX.

Условие $\cos\alpha \neq 0$ исключает точки на оси OY.

Совмещая эти два условия, получаем, что угол $\alpha$ должен находиться в I или II четверти. Проверим знаки сомножителей в подкоренном выражении для каждой четверти:

• I четверть: $\tg\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$. Их произведение $\tg\alpha \cdot \cos\alpha$ положительно. Эта четверть подходит.
• II четверть: $\tg\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$. Их произведение $\tg\alpha \cdot \cos\alpha$ положительно. Эта четверть подходит.
• III четверть: $\tg\alpha > 0$ и $\cos\alpha < 0$. Их произведение $\tg\alpha \cdot \cos\alpha$ отрицательно. Эта четверть не подходит.
• IV четверть: $\tg\alpha < 0$ и $\cos\alpha > 0$. Их произведение $\tg\alpha \cdot \cos\alpha$ отрицательно. Эта четверть не подходит.

Таким образом, выражение имеет смысл, если угол $\alpha$ принадлежит первой или второй четверти.

Ответ: угол $\alpha$ является углом I или II четверти.