Номер 8.6, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.6. Назовите два положительных и два отрицательных угла $\alpha$, для которых не существует $\operatorname{tg} \alpha$; $\operatorname{ctg} \alpha$.

tg α:
Функция тангенса определяется формулой $tg\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Область определения тангенса исключает углы, для которых знаменатель дроби равен нулю, то есть $\cos\alpha = 0$.
Это условие выполняется для всех углов вида $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Найдем два положительных угла (например, при $n=0$ и $n=1$):
1. При $n=0$: $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
2. При $n=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной, в виде смешанного числа она записывается как $1\frac{1}{2}$.
Найдем два отрицательных угла (например, при $n=-1$ и $n=-2$):
1. При $n=-1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
2. При $n=-2$: $\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Это соответствует смешанному числу $-1\frac{1}{2}$.
Ответ: два положительных угла: $\frac{\pi}{2}$ и $\textbf{1}\frac{1}{2}\pi$; два отрицательных угла: $-\frac{\pi}{2}$ и $-\textbf{1}\frac{1}{2}\pi$.

ctg α:
Функция котангенса определяется формулой $ctg\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Область определения котангенса исключает углы, для которых знаменатель дроби равен нулю, то есть $\sin\alpha = 0$.
Это условие выполняется для всех углов вида $\alpha = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Найдем два положительных угла (при $n > 0$):
1. При $n=1$: $\alpha = \pi$.
2. При $n=2$: $\alpha = 2\pi$.
Найдем два отрицательных угла (при $n < 0$):
1. При $n=-1$: $\alpha = -\pi$.
2. При $n=-2$: $\alpha = -2\pi$.
Ответ: два положительных угла: $\pi$ и $2\pi$; два отрицательных угла: $-\pi$ и $-2\pi$.