Номер 8.8, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.8. Сравните:

а) $tg 340^\circ$ и $tg 350^\circ$;

б) $ctg 200^\circ$ и $ctg (-230^\circ)$;

в) $ctg 79^\circ$ и $tg 337^\circ$;

г) $tg \frac{17\pi}{19}$ и $tg \frac{39\pi}{19}$;

д) $ctg 4^\circ$ и $ctg 4$;

е) $tg 6,4$ и $tg 4,9$.

Сравним $\operatorname{tg}340^\circ$ и $\operatorname{tg}350^\circ$.

Оба угла, $340^\circ$ и $350^\circ$, находятся в четвертой четверти ($270^\circ < x < 360^\circ$). В этой четверти функция тангенса отрицательна, то есть $\operatorname{tg}340^\circ < 0$ и $\operatorname{tg}350^\circ < 0$.

Функция $y = \operatorname{tg}x$ возрастает на интервале $(270^\circ; 360^\circ)$. Так как $340^\circ < 350^\circ$, то и значения тангенса для этих углов будут находиться в том же соотношении.

Следовательно, $\operatorname{tg}340^\circ < \operatorname{tg}350^\circ$.

Ответ: $\operatorname{tg}340^\circ < \operatorname{tg}350^\circ$.

Сравним $\operatorname{ctg}200^\circ$ и $\operatorname{ctg}(-230^\circ)$.

Упростим второе выражение, используя свойство нечетности котангенса: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$.

$\operatorname{ctg}(-230^\circ) = -\operatorname{ctg}230^\circ$.

Определим знаки выражений. Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где котангенс положителен. Значит, $\operatorname{ctg}200^\circ > 0$.

Угол $230^\circ$ также находится в третьей четверти, поэтому $\operatorname{ctg}230^\circ > 0$. Следовательно, $-\operatorname{ctg}230^\circ < 0$.

Сравниваем положительное число $\operatorname{ctg}200^\circ$ и отрицательное число $\operatorname{ctg}(-230^\circ)$.

Ответ: $\operatorname{ctg}200^\circ > \operatorname{ctg}(-230^\circ)$.

Сравним $\operatorname{ctg}79^\circ$ и $\operatorname{tg}337^\circ$.

Определим знаки каждого из выражений. Угол $79^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 79^\circ < 90^\circ$), где котангенс положителен. Значит, $\operatorname{ctg}79^\circ > 0$.

Угол $337^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 337^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg}337^\circ < 0$.

Сравниваем положительное число $\operatorname{ctg}79^\circ$ и отрицательное число $\operatorname{tg}337^\circ$. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Ответ: $\operatorname{ctg}79^\circ > \operatorname{tg}337^\circ$.

Сравним $\operatorname{tg}\frac{17\pi}{19}$ и $\operatorname{tg}\frac{39\pi}{19}$.

Упростим второе выражение, используя периодичность тангенса (период равен $\pi$). Сначала выделим целую часть из неправильной дроби в аргументе функции: $\frac{39}{19} = \mathbf{2}\frac{1}{19}$.

Таким образом, $\frac{39\pi}{19} = (2 + \frac{1}{19})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{19}$.

Поскольку период тангенса равен $\pi$ (а значит и $2\pi$), то $\operatorname{tg}(x + 2k\pi) = \operatorname{tg}x$ для любого целого $k$.

$\operatorname{tg}\frac{39\pi}{19} = \operatorname{tg}(2\pi + \frac{\pi}{19}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{19}$.

Теперь сравним $\operatorname{tg}\frac{17\pi}{19}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}$.

Определим, в каких четвертях лежат углы. Угол $\frac{\pi}{19}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{2}$, значит, он находится в первой четверти, и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{19} > 0$.

Угол $\frac{17\pi}{19}$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \frac{17\pi}{19} < \pi$ (поскольку $\frac{1}{2} = \frac{9.5}{19} < \frac{17}{19} < 1$), значит, он находится во второй четверти, и $\operatorname{tg}\frac{17\pi}{19} < 0$.

Сравниваем отрицательное число с положительным.

Ответ: $\operatorname{tg}\frac{17\pi}{19} < \operatorname{tg}\frac{39\pi}{19}$.

Сравним $\operatorname{ctg}4^\circ$ и $\operatorname{ctg}4$.

Важно отметить, что в первом случае угол задан в градусах, а во втором — в радианах.

Определим знаки выражений. Угол $4^\circ$ находится в первой четверти, поэтому $\operatorname{ctg}4^\circ > 0$.

Для угла в 4 радиана определим четверть. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Значит, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти положителен, поэтому $\operatorname{ctg}4 > 0$.

Так как оба значения положительны, сравним их. Используем свойство периодичности котангенса (период равен $\pi$): $\operatorname{ctg}x = \operatorname{ctg}(x - k\pi)$.

$\operatorname{ctg}4 = \operatorname{ctg}(4 - \pi)$. Угол $(4 - \pi)$ радиан находится в первой четверти, так как $0 < 4 - \pi < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, $4-\pi \approx 0.86$, а $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$).

Теперь нам нужно сравнить $\operatorname{ctg}4^\circ$ и $\operatorname{ctg}(4 - \pi)$ радиан. Переведем $4^\circ$ в радианы: $4^\circ = 4 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{45}$ радиан.

Сравниваем $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{45})$ и $\operatorname{ctg}(4 - \pi)$. Функция $y = \operatorname{ctg}x$ убывает на интервале $(0; \pi)$. Нам нужно сравнить аргументы $\frac{\pi}{45}$ и $4 - \pi$.

$\frac{\pi}{45} \approx \frac{3.14159}{45} \approx 0.0698$.

$4 - \pi \approx 4 - 3.14159 = 0.85841$.

Поскольку $0.0698 < 0.85841$, то $\frac{\pi}{45} < 4 - \pi$. Так как котангенс на этом интервале убывает, для значений функции будет верным обратное неравенство: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{45}) > \operatorname{ctg}(4 - \pi)$.

Ответ: $\operatorname{ctg}4^\circ > \operatorname{ctg}4$.

Сравним $\operatorname{tg}6,4$ и $\operatorname{tg}4,9$.

Оба угла заданы в радианах. Определим, в каких четвертях они находятся, используя приближение $\pi \approx 3.14$, $2\pi \approx 6.28$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Для угла 4,9 радиан: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 4,9 < 2\pi \approx 6.28$. Угол находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg}4,9 < 0$.

Для угла 6,4 радиан: $2\pi \approx 6.28 < 6,4 < \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Угол находится в первой четверти (после полного оборота $2\pi$), где тангенс положителен. Значит, $\operatorname{tg}6,4 > 0$.

Сравниваем положительное число $\operatorname{tg}6,4$ и отрицательное число $\operatorname{tg}4,9$.

Ответ: $\operatorname{tg}6,4 > \operatorname{tg}4,9$.