Номер 8.5, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.5. Вычислите:

$\sqrt{(3\cot\frac{\pi}{3}-2)^2} + \sqrt{(2-3\tan\frac{\pi}{6})^2}$

8.5. Для решения данного примера воспользуемся свойством квадратного корня из квадрата числа, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a).

Применим это свойство к исходному выражению:

$\sqrt{(3\text{ctg}\frac{\pi}{3}-2)^2} + \sqrt{(2-3\text{tg}\frac{\pi}{6})^2} = |3\text{ctg}\frac{\pi}{3}-2| + |2-3\text{tg}\frac{\pi}{6}|$

Сначала вычислим значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь подставим найденные значения в выражения под знаком модуля:

Выражение в первом модуле: $3\text{ctg}\frac{\pi}{3}-2 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 = \sqrt{3}-2$.

Выражение во втором модуле: $2-3\text{tg}\frac{\pi}{6} = 2 - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2-\sqrt{3}$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$|\sqrt{3}-2| + |2-\sqrt{3}|$

Чтобы раскрыть модули, определим знаки подмодульных выражений. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Следовательно, выражение $\sqrt{3}-2$ является отрицательным $(\approx 1.732 - 2 = -0.268)$. При раскрытии модуля знак выражения меняется на противоположный: $|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2-\sqrt{3}$.

Выражение $2-\sqrt{3}$ является положительным $(\approx 2 - 1.732 = 0.268)$. При раскрытии модуля знак выражения сохраняется: $|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.

Наконец, сложим полученные результаты:

$(2-\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $4 - 2\sqrt{3}$.