Номер 8.14, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.14. Известно, что $0,5\pi < \alpha < \pi$. Упростите выражение:

а) $|tg\alpha| - tg\alpha;

б) $ctg\alpha + |ctg\alpha|;

в) $\frac{|tg\alpha|}{tg\alpha};

г) $\frac{3ctg\alpha}{|ctg\alpha|}.$

Для решения данной задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций тангенса и котангенса для угла $ \alpha $, который, согласно условию, находится в интервале $ 0,5\pi < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти на тригонометрической окружности. Во второй четверти синус угла положителен ($ \sin\alpha > 0 $), а косинус отрицателен ($ \cos\alpha < 0 $).

Тангенс определяется как отношение $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, поэтому в этой четверти он будет отрицательным ($ \tg\alpha < 0 $). Котангенс определяется как отношение $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, поэтому он также будет отрицательным ($ \ctg\alpha < 0 $).

При раскрытии модуля используется правило: если подмодульное выражение отрицательно ($ x < 0 $), то его модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком ($ |x| = -x $). Таким образом, для нашего случая получаем: $ |\tg\alpha| = -\tg\alpha $ и $ |\ctg\alpha| = -\ctg\alpha $.

а) Упростим выражение $ |\tg\alpha| - \tg\alpha $. Используя установленное выше свойство для угла во второй четверти, заменяем $ |\tg\alpha| $ на $ -\tg\alpha $: $ |\tg\alpha| - \tg\alpha = (-\tg\alpha) - \tg\alpha = -2\tg\alpha $. Ответ: $-2\tg\alpha$.

б) Упростим выражение $ \ctg\alpha + |\ctg\alpha| $. Поскольку $ \ctg\alpha < 0 $, мы заменяем $ |\ctg\alpha| $ на $ -\ctg\alpha $: $ \ctg\alpha + |\ctg\alpha| = \ctg\alpha + (-\ctg\alpha) = \ctg\alpha - \ctg\alpha = 0 $. Ответ: 0.

в) Упростим выражение $ \frac{|\tg\alpha|}{\tg\alpha} $. Зная, что $ \tg\alpha < 0 $, раскрываем модуль: $ |\tg\alpha| = -\tg\alpha $. Подставляем в дробь: $ \frac{|\tg\alpha|}{\tg\alpha} = \frac{-\tg\alpha}{\tg\alpha} $. Так как $ \tg\alpha \ne 0 $ (поскольку $ \alpha \ne \pi $), мы можем сократить дробь на $ \tg\alpha $, получив в результате $ -1 $. Ответ: -1.

г) Упростим выражение $ \frac{3\ctg\alpha}{|\ctg\alpha|} $. Раскрываем модуль $ |\ctg\alpha| = -\ctg\alpha $, так как $ \ctg\alpha < 0 $. Подставляем в выражение: $ \frac{3\ctg\alpha}{|\ctg\alpha|} = \frac{3\ctg\alpha}{-\ctg\alpha} $. Так как $ \ctg\alpha \ne 0 $ (поскольку $ \alpha \ne 0,5\pi $), мы можем сократить дробь на $ \ctg\alpha $, что дает нам $ -3 $. Ответ: -3.