Номер 8.10, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.10. Запишите в порядке возрастания значения выражений:

a) $\text{tg}41^\circ; \text{tg}110^\circ; \text{tg}225^\circ; \text{tg}360^\circ;$

б) $\text{ctg}\frac{\pi}{11}; \text{ctg}\frac{\pi}{2}; \text{ctg}\frac{8\pi}{9}; \text{ctg}2,1\pi.$

Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, определим их значения или хотя бы знаки и сравним их между собой, используя свойства тангенса на тригонометрической окружности.

1. $\tg41°$: Угол $41°$ находится в I четверти ($0° < 41° < 90°$). В этой четверти тангенс положителен. Так как $0° < 41° < 45°$, то $0 < \tg41° < \tg45°$, то есть $0 < \tg41° < 1$.

2. $\tg110°$: Угол $110°$ находится во II четверти ($90° < 110° < 180°$). В этой четверти тангенс отрицателен. С помощью формулы приведения: $\tg110° = \tg(180° - 70°) = -\tg70°$. Поскольку $70° > 45°$, то $\tg70° > \tg45° = 1$, следовательно, $-\tg70° < -1$.

3. $\tg225°$: Угол $225°$ находится в III четверти ($180° < 225° < 270°$). В этой четверти тангенс положителен. С помощью формулы приведения: $\tg225° = \tg(180° + 45°) = \tg45° = 1$.

4. $\tg360°$: Угол $360°$ соответствует углу $0°$ на окружности. $\tg360° = \tg0° = 0$.

Теперь сравним полученные значения:

• $\tg110°$ - отрицательное число, меньшее -1.
• $\tg360° = 0$.
• $\tg41°$ - положительное число, меньшее 1.
• $\tg225° = 1$.

Располагая значения в порядке возрастания, получаем следующий ряд:

$\tg110°, \tg360°, \tg41°, \tg225°$.

Ответ: $\tg110°, \tg360°, \tg41°, \tg225°$.

Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, определим их значения или сравним их между собой, используя свойства функции котангенс. Функция $y = \ctg(x)$ является убывающей на каждом интервале своей области определения $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ - целое число.

1. $\ctg\frac{\pi}{11}$: Угол $\frac{\pi}{11}$ находится в I четверти ($0 < \frac{\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$). В этой четверти котангенс положителен. $\ctg\frac{\pi}{11} > 0$.

2. $\ctg\frac{\pi}{2}$: Это табличное значение, которое равно 0. $\ctg\frac{\pi}{2} = 0$.

3. $\ctg\frac{8\pi}{9}$: Угол $\frac{8\pi}{9}$ находится во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{9} < \pi$). В этой четверти котангенс отрицателен. $\ctg\frac{8\pi}{9} < 0$.

4. $\ctg(2,1\pi)$: Преобразуем аргумент. Десятичная дробь $2,1$ равна неправильной дроби $\frac{21}{10}$. Выделим целую часть: $2,1\pi = \frac{21}{10}\pi = 2\frac{1}{10}\pi$.

   Используем периодичность котангенса (период равен $\pi$):

   $\ctg(2\frac{1}{10}\pi) = \ctg(2\pi + \frac{1}{10}\pi) = \ctg(\frac{1}{10}\pi) = \ctg\frac{\pi}{10}$.

   Угол $\frac{\pi}{10}$ находится в I четверти ($0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$), поэтому котангенс положителен. $\ctg\frac{\pi}{10} > 0$.

Теперь сравним полученные значения:

• Единственное отрицательное значение — $\ctg\frac{8\pi}{9}$.
• Одно значение равно нулю — $\ctg\frac{\pi}{2}$.
• Два положительных значения — $\ctg\frac{\pi}{11}$ и $\ctg(2,1\pi) = \ctg\frac{\pi}{10}$.

Сравним положительные значения: $\ctg\frac{\pi}{11}$ и $\ctg\frac{\pi}{10}$.

Так как $\frac{1}{11} < \frac{1}{10}$, то и $\frac{\pi}{11} < \frac{\pi}{10}$. Оба угла лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \ctg(x)$ убывает. Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $\ctg\frac{\pi}{11} > \ctg\frac{\pi}{10}$.

Располагая все значения в порядке возрастания, получаем:

$\ctg\frac{8\pi}{9} < \ctg\frac{\pi}{2} < \ctg\frac{\pi}{10} < \ctg\frac{\pi}{11}$

Заменив $\ctg\frac{\pi}{10}$ на исходное выражение $\ctg(2,1\pi)$, которое мы представили как $\ctg(2\frac{1}{10}\pi)$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $\ctg\frac{8\pi}{9}, \ctg\frac{\pi}{2}, \ctg(2\frac{1}{10}\pi), \ctg\frac{\pi}{11}$.