Номер 8.18, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.18. Запишите все углы, для которых выполняется равенство $\text{ctg}\alpha = -\text{tg}\alpha$. Проиллюстрируйте свое решение с помощью единичной окружности.

Для решения данного тригонометрического уравнения $ctg α = -tg α$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Функция $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ определена при $cos α \neq 0$, а функция $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$ определена при $sin α \neq 0$. Следовательно, обе функции одновременно определены, если $sin α \neq 0$ и $cos α \neq 0$. Это соответствует углам $α \neq \frac{πk}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Преобразуем исходное уравнение. Перенесем $tg α$ в левую часть:

$ctg α + tg α = 0$

Заменим $ctg α$ и $tg α$ их определениями через синус и косинус:

$\frac{cos α}{sin α} + \frac{sin α}{cos α} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $sin α \cdot cos α$:

$\frac{cos^2 α + sin^2 α}{sin α \cdot cos α} = 0$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2 α + sin^2 α = 1$. Подставим это значение в числитель дроби:

$\frac{1}{sin α \cdot cos α} = 0$

Полученное уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только в том случае, если ее числитель равен нулю. В данном уравнении числитель равен 1 и никогда не может быть равен нулю. Таким образом, исходное равенство не выполняется ни для каких значений угла $α$.

Ответ: Данное уравнение не имеет решений.

Геометрическая интерпретация тангенса и котангенса помогает наглядно понять, почему у уравнения нет решений. На единичной окружности $tg α$ представляет собой ординату точки пересечения луча угла $α$ с осью тангенсов (вертикальная прямая $x=1$), а $ctg α$ — абсциссу точки пересечения с осью котангенсов (горизонтальная прямая $y=1$).

Проанализируем знаки левой и правой частей уравнения $ctg α = -tg α$ по четвертям:

1-я четверть: $tg α > 0$ и $ctg α > 0$. Равенство приобретает вид: (положительное число) = -(положительное число), то есть (положительное) = (отрицательное), что невозможно.

2-я четверть: $tg α < 0$ и $ctg α < 0$. Равенство приобретает вид: (отрицательное число) = -(отрицательное число), то есть (отрицательное) = (положительное), что невозможно. Пример для $α=135°$ показан на рисунке: $ctg(135°) = -1$ и $-tg(135°) = -(-1) = 1$. Равенство $-1 = 1$ неверно.

3-я четверть: $tg α > 0$ и $ctg α > 0$. Аналогично 1-й четверти, равенство невозможно.

4-я четверть: $tg α < 0$ и $ctg α < 0$. Аналогично 2-й четверти, равенство невозможно.

Ответ: Анализ на единичной окружности показывает, что для любого угла $α$, где определены обе функции, величины $ctg α$ и $-tg α$ всегда имеют разные знаки (одна положительна, другая отрицательна), за исключением случаев, когда они равны нулю, но в этих точках одна из функций не определена. Следовательно, равенство между ними невозможно.