Номер 8.9, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.9. Сравните значения выражений $ctg\alpha$ и $ctg2\alpha$, если известно, что:

а) $\alpha = 57^\circ$;

б) $\alpha = \frac{5\pi}{7}$;

в) $\alpha = 5$.

Для сравнения значений выражений $ctg\alpha$ и $ctg(2\alpha)$ рассмотрим их разность. Один из способов — это преобразовать разность с помощью тригонометрических формул.

$ctg\alpha - ctg(2\alpha) = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} - \frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = \frac{sin(2\alpha)cos\alpha - cos(2\alpha)sin\alpha}{sin\alpha \cdot sin(2\alpha)}$

Применив в числителе формулу синуса разности $sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$, получим:

$\frac{sin(2\alpha - \alpha)}{sin\alpha \cdot sin(2\alpha)} = \frac{sin\alpha}{sin\alpha \cdot sin(2\alpha)} = \frac{1}{sin(2\alpha)}$

Таким образом, мы получили тождество:

$ctg\alpha - ctg(2\alpha) = \frac{1}{sin(2\alpha)}$

Из этого тождества следует, что знак разности $ctg\alpha - ctg(2\alpha)$ совпадает со знаком $sin(2\alpha)$, так как числитель (1) всегда положителен.

• Если $sin(2\alpha) > 0$, то $ctg\alpha - ctg(2\alpha) > 0$, и, следовательно, $ctg\alpha > ctg(2\alpha)$. Это верно, когда угол $2\alpha$ находится в I или II координатной четверти.
• Если $sin(2\alpha) < 0$, то $ctg\alpha - ctg(2\alpha) < 0$, и, следовательно, $ctg\alpha < ctg(2\alpha)$. Это верно, когда угол $2\alpha$ находится в III или IV координатной четверти.

Теперь решим задачу для каждого из предложенных значений $\alpha$.

а) $\alpha = 57^\circ$

1. Найдем значение угла $2\alpha$:
   $2\alpha = 2 \cdot 57^\circ = 114^\circ$.
2. Определим, в какой координатной четверти находится угол $2\alpha$.
   Поскольку $90^\circ < 114^\circ < 180^\circ$, угол $114^\circ$ находится во II четверти.
3. Определим знак $sin(2\alpha) = sin(114^\circ)$.
   Синус во II четверти положителен, следовательно, $sin(114^\circ) > 0$.
4. Так как $sin(2\alpha) > 0$, то и разность $ctg\alpha - ctg(2\alpha) > 0$, что означает $ctg\alpha > ctg(2\alpha)$.

а) Ответ: $ctg(57^\circ) > ctg(114^\circ)$.

б) $\alpha = \frac{5\pi}{7}$

1. Найдем значение угла $2\alpha$:
   $2\alpha = 2 \cdot \frac{5\pi}{7} = \frac{10\pi}{7}$.
2. Определим, в какой координатной четверти находится угол $2\alpha$.
   Сравним $\frac{10\pi}{7}$ с границами четвертей: $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$.
   Так как $\pi < \frac{10\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$, угол $\frac{10\pi}{7}$ находится в III четверти.
3. Определим знак $sin(2\alpha) = sin(\frac{10\pi}{7})$.
   Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $sin(\frac{10\pi}{7}) < 0$.
4. Так как $sin(2\alpha) < 0$, то и разность $ctg\alpha - ctg(2\alpha) < 0$, что означает $ctg\alpha < ctg(2\alpha)$.

б) Ответ: $ctg(\frac{5\pi}{7}) < ctg(\frac{10\pi}{7})$.

в) $\alpha = 5$ (угол в радианах)

1. Найдем значение угла $2\alpha$:
   $2\alpha = 2 \cdot 5 = 10$ радиан.
2. Определим, в какой координатной четверти находится угол $2\alpha$.
   Для этого сравним $10$ с ближайшими значениями, кратными $\pi \approx 3.1416$.
   $3\pi \approx 9.4248$
   $3.5\pi = \frac{7\pi}{2} \approx 10.9956$
   Поскольку $3\pi < 10 < 3.5\pi$, угол $10$ радиан находится в III четверти (на втором обороте единичной окружности).
3. Определим знак $sin(2\alpha) = sin(10)$.
   Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $sin(10) < 0$.
4. Так как $sin(2\alpha) < 0$, то и разность $ctg\alpha - ctg(2\alpha) < 0$, что означает $ctg\alpha < ctg(2\alpha)$.

в) Ответ: $ctg(5) < ctg(10)$.