Номер 1, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите функцию, график которой получен из графика функции $y = \frac{k}{x}$ $(k \ne 0)$ сдвигом его на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

a) $y = \frac{k}{x + 2} + 3;$

б) $y = \frac{k}{x - 2} + 3;$

В) $y = \frac{k}{x + 3} - 2;$

Г) $y = \frac{k}{x + 2} - 3;$

Д) $y = \frac{k}{x - 3} + 2.$

Чтобы решить эту задачу, необходимо применить правила преобразования графиков функций. График функции $y = f(x-a) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем двух последовательных сдвигов:

• Горизонтальный сдвиг на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо. Если $a < 0$, сдвиг происходит влево. Это соответствует замене аргумента $x$ на $(x-a)$.
• Вертикальный сдвиг на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх. Если $b < 0$, сдвиг происходит вниз. Это соответствует прибавлению константы $b$ ко всей функции.

В нашем случае исходной функцией является $y = \frac{k}{x}$.

Согласно условию задачи, необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.
   Для этого в исходной функции $y = \frac{k}{x}$ мы должны заменить $x$ на $(x - 2)$.
   Промежуточный результат: $y = \frac{k}{x - 2}$.
2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.
   Для этого к полученной на предыдущем шаге функции нужно прибавить 3.
   Итоговая функция: $y = \frac{k}{x - 2} + 3$.

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом б).

В выражении вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ число $b$ является "целой частью", которая получается при делении числителя на знаменатель в соответствующей неправильной дроби $\frac{b(x-a)+k}{x-a}$. В нашем случае эта целая часть равна 3.

б) $y = \frac{k}{x - 2} + 3$ Ответ: целая часть равна 3.