Номер 9, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Решите неравенство

$\sqrt{9x^2 - 6x + 1} + \sqrt{5 - 4} \geq \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}.$

a) $(-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty);$

б) $[-\frac{1}{3}; 1];$

в) $(-\infty; -\sqrt{5}] \cup [1; +\infty);$

г) $(-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty);$

д) $[1; +\infty).$

Пошаговое решение неравенства

Исходное неравенство: $ \sqrt{9x^2 - 6x + 1} + \sqrt{5} - 4 \geq \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} $.

Для решения необходимо упростить выражения под корнями.

Шаг 1: Упрощение левой части

Выражение $9x^2 - 6x + 1$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$

Таким образом, первый член неравенства равен:

$\sqrt{9x^2 - 6x + 1} = \sqrt{(3x - 1)^2} = |3x - 1|$

Шаг 2: Упрощение правой части

Выражение $9 - 4\sqrt{5}$ в правой части также можно представить в виде полного квадрата. Для этого ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab=4\sqrt{5}$.

Легко видеть, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$ удовлетворяют этим условиям:

• $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$
• $2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2$.

Теперь извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$

Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, то $\sqrt{5} > 2$, и выражение $2 - \sqrt{5}$ отрицательно. Поэтому, по определению модуля, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.

Шаг 3: Решение упрощенного неравенства

Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:

$|3x - 1| + \sqrt{5} - 4 \geq \sqrt{5} - 2$

Сократим $\sqrt{5}$ в обеих частях и перенесем числовые слагаемые в правую часть:

$|3x - 1| \geq -2 + 4$

$|3x - 1| \geq 2$

Данное неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

1. $3x - 1 \geq 2$

   $3x \geq 3$

   $x \geq 1$

2. $3x - 1 \leq -2$

   $3x \leq -1$

   $x \leq -\frac{1}{3}$

Объединяя эти два решения, получаем итоговый ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту а) из предложенных.

а) $(-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$; Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.