Номер 12, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите произведение целых решений неравенства $\frac{2x^2 - 3|x| + 3}{x^2 + 1} \le 1$.

Дано неравенство:

$$ \frac{2x^2 - 3|x| + 3}{x^2 + 1} \le 1 $$

Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ всегда строго положителен для любого действительного $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$), мы можем умножить обе части неравенства на $x^2 + 1$, не меняя знака неравенства:

$$ 2x^2 - 3|x| + 3 \le x^2 + 1 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ (2x^2 - x^2) - 3|x| + (3 - 1) \le 0 $$

$$ x^2 - 3|x| + 2 \le 0 $$

Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$ и сделаем замену переменной $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$. Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$$ t^2 - 3t + 2 \le 0 $$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Графиком функции $y = t^2 - 3t + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями (включая сами корни). Таким образом, решение для $t$:

$$ 1 \le t \le 2 $$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $|x|$ вместо $t$:

$$ 1 \le |x| \le 2 $$

Это двойное неравенство эквивалентно объединению двух промежутков:

$$ x \in [-2, -1] \cup [1, 2] $$

Целыми решениями, входящими в эти промежутки, являются числа: -2, -1, 1, 2.

Произведение целых решений неравенства:

Найдем произведение найденных целых решений:

$$ (-2) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 2 = 4 $$

Ответ: 4