Номер 15, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите количество целых решений неравенства

$|3x+1|+2+\frac{3}{|3x+1|-2} \le \frac{1}{|3x+1|+2}$

Исходное неравенство:$$|3x + 1| + 2 + \frac{3}{|3x + 1| - 2} \le \frac{1}{|3x + 1| + 2}$$

Для упрощения неравенства введем замену. Пусть $t = |3x + 1|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$. Знаменатели дробей в неравенстве не должны быть равны нулю:$|3x + 1| - 2 \neq 0 \implies t - 2 \neq 0 \implies t \neq 2$. Второй знаменатель $|3x + 1| + 2 = t + 2$. Так как $t \ge 0$, то $t+2 \ge 2$, поэтому $t+2 \neq 0$ всегда. С учетом замены и ОДЗ, неравенство принимает вид:$$t + 2 + \frac{3}{t - 2} \le \frac{1}{t + 2}$$Ответ: Неравенство для новой переменной $t$ имеет вид $t + 2 + \frac{3}{t - 2} \le \frac{1}{t + 2}$ при условиях $t \ge 0$ и $t \neq 2$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(t-2)(t+2) = t^2-4$:$$t + 2 + \frac{3}{t - 2} - \frac{1}{t + 2} \le 0$$$$\frac{(t+2)(t-2)(t+2) + 3(t+2) - 1(t-2)}{(t-2)(t+2)} \le 0$$$$\frac{(t^2-4)(t+2) + 3t+6-t+2}{t^2-4} \le 0$$$$\frac{t^3 + 2t^2 - 4t - 8 + 2t + 8}{t^2-4} \le 0$$$$\frac{t^3 + 2t^2 - 2t}{t^2-4} \le 0$$Вынесем $t$ в числителе за скобки:$$\frac{t(t^2 + 2t - 2)}{t^2-4} \le 0$$Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя. Корни числителя: $t=0$ и $t^2+2t-2=0$. Для квадратного уравнения корни: $t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Корни знаменателя: $t^2-4=0 \implies t = \pm 2$. Расположим корни на числовой оси: $-1-\sqrt{3}$, $-2$, $0$, $-1+\sqrt{3}$, $2$. Анализируя знаки выражения на интервалах, получаем решение для $t$:$$t \in (-\infty, -1-\sqrt{3}] \cup (-2, 0] \cup [-1+\sqrt{3}, 2)$$Теперь учтем условия $t \ge 0$ и $t \neq 2$. Пересекая полученное множество с $[0, \infty)$, получаем:$$t = 0 \quad \text{или} \quad t \in [-1+\sqrt{3}, 2)$$Ответ: Решением для переменной $t$ является объединение $t=0$ и интервала $-1+\sqrt{3} \le t < 2$.

Выполним обратную замену $t = |3x+1|$. Рассмотрим два случая:1) $t=0 \implies |3x+1|=0 \implies 3x+1=0 \implies x = -1/3$. Это решение не является целым числом.2) $-1+\sqrt{3} \le |3x+1| < 2$. Это двойное неравенство равносильно системе:$$\begin{cases} |3x+1| < 2 \\ |3x+1| \ge -1+\sqrt{3} \end{cases}$$Решим первое неравенство:$|3x+1| < 2 \implies -2 < 3x+1 < 2 \implies -3 < 3x < 1 \implies -1 < x < \frac{1}{3}$. Решим второе неравенство:$|3x+1| \ge -1+\sqrt{3}$. Это равносильно совокупности:$$3x+1 \ge -1+\sqrt{3} \quad \text{или} \quad 3x+1 \le -(-1+\sqrt{3})$$$$3x \ge -2+\sqrt{3} \quad \text{или} \quad 3x \le -\sqrt{3}$$$$x \ge \frac{-2+\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$$Объединим решения для $x$: нужно найти пересечение множеств $(-1, 1/3)$ и $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{-2+\sqrt{3}}{3}, \infty)$. Приближенные значения: $1/3 \approx 0.333$, $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$, $\frac{-2+\sqrt{3}}{3} \approx \frac{-0.268}{3} \approx -0.089$. Пересечение дает:$$x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{-2+\sqrt{3}}{3}, \frac{1}{3}\right)$$Ответ: Множество решений исходного неравенства: $x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{-2+\sqrt{3}}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

Найдем целые числа, принадлежащие полученному множеству решений $x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{-2+\sqrt{3}}{3}, \frac{1}{3}\right)$.1. Интервал $\left(-1, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \approx (-1, -0.577]$. Этот интервал не содержит целых чисел.2. Интервал $\left[\frac{-2+\sqrt{3}}{3}, \frac{1}{3}\right) \approx [-0.089, 0.333)$. Этот интервал содержит одно целое число: $x=0$. Решение $x = -1/3$ из первого случая не является целым. Следовательно, существует только одно целое решение. Ответ: 1.