Номер 8, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите расстояние между центрами окружностей

$x^2 + y^2 = 1$ и $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 49$.

а) 3;

б) 5;

в) 4;

г) 7;

д) 1.

Для нахождения расстояния между центрами окружностей необходимо сначала определить координаты этих центров из их уравнений, а затем вычислить расстояние между полученными точками.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ выглядит так: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

Шаг 1: Определение центра первой окружности

Уравнение первой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.

Его можно представить в стандартной форме как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$.

Из этого следует, что центр первой окружности, $O_1$, находится в точке с координатами $(0, 0)$.

Шаг 2: Определение центра второй окружности

Уравнение второй окружности: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 49$.

Это уравнение можно переписать в виде $(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 7^2$.

Таким образом, центр второй окружности, $O_2$, находится в точке с координатами $(3, -4)$.

Шаг 3: Вычисление расстояния между центрами

Расстояние $d$ между двумя точками $O_1(x_1, y_1)$ и $O_2(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим в формулу координаты центров $O_1(0, 0)$ и $O_2(3, -4)$:

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2}$

$d = \sqrt{3^2 + (-4)^2}$

$d = \sqrt{9 + 16}$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$

Расстояние между центрами окружностей равно 5. Сравнивая с вариантами ответов, мы видим, что это соответствует варианту б).

б) 5; Ответ: 5