Номер 3, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Прямая проходит через точки $(2; 0)$ и $(1; 2)$.

Выберите точку, через которую также проходит данная прямая:

1) $(-1; 2)$;

2) $(0; -4)$;

3) $(-19; 42)$;

4) $(50; -98)$;

5) $(-25; 52)$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы определить, какая из предложенных точек лежит на прямой, проходящей через точки А(2; 0) и B(1; 2), сначала необходимо найти уравнение этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

Подставим координаты заданных точек A($x_1=2, y_1=0$) и B($x_2=1, y_2=2$):

Выразим $y$:

Итак, уравнение прямой: $y = -2x + 4$.

Теперь проверим принадлежность каждой из предложенных точек этой прямой, подставляя их координаты в полученное уравнение. Варианты ответов обозначены буквами а), б), в), г), д), которые соответствуют точкам с номерами 1), 2), 3), 4), 5).

а) 1) Для точки с координатами (-1; 2) подставляем $x = -1$ и $y = 2$ в уравнение прямой: $2 = -2(-1) + 4 \implies 2 = 2 + 4 \implies 2 = 6$. Равенство неверное. Ответ: точка не принадлежит прямой.

б) 2) Для точки с координатами (0; -4) подставляем $x = 0$ и $y = -4$: $-4 = -2(0) + 4 \implies -4 = 0 + 4 \implies -4 = 4$. Равенство неверное. Ответ: точка не принадлежит прямой.

в) 3) Для точки с координатами (-19; 42) подставляем $x = -19$ и $y = 42$: $42 = -2(-19) + 4 \implies 42 = 38 + 4 \implies 42 = 42$. Равенство верное. Ответ: точка принадлежит прямой.

г) 4) Для точки с координатами (50; -98) подставляем $x = 50$ и $y = -98$: $-98 = -2(50) + 4 \implies -98 = -100 + 4 \implies -98 = -96$. Равенство неверное. Ответ: точка не принадлежит прямой.

д) 5) Для точки с координатами (-25; 52) подставляем $x = -25$ и $y = 52$: $52 = -2(-25) + 4 \implies 52 = 50 + 4 \implies 52 = 54$. Равенство неверное. Ответ: точка не принадлежит прямой.

Таким образом, единственная точка, которая также лежит на данной прямой, это (-19; 42), что соответствует варианту в) 3).