Номер 10, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $9 \cdot x_0$, где $x_0$ — наибольшее решение неравенства $|3x - 1| \ge (3x - 1)^2$.

Для нахождения значения выражения $9 \cdot x_0$ необходимо сначала решить неравенство $|3x - 1| \ge (3x - 1)^2$ и найти его наибольшее решение $x_0$.

Шаг 1. Решение неравенства

Исходное неравенство: $|3x - 1| \ge (3x - 1)^2$.

Воспользуемся свойством, что квадрат любого действительного числа равен квадрату его модуля: $a^2 = |a|^2$. Тогда $(3x - 1)^2 = |3x - 1|^2$. Неравенство примет вид:

$|3x - 1| \ge |3x - 1|^2$

Введем замену переменной. Пусть $t = |3x - 1|$. По определению модуля, $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$.

С новой переменной неравенство выглядит так:

$t \ge t^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$t - t^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(1 - t) \ge 0$

Это квадратичное неравенство относительно $t$. Решим его методом интервалов. Корни уравнения $t(1 - t) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Графиком функции $f(t) = t - t^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением для $t$ является отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = |3x - 1|$:

$0 \le |3x - 1| \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1. $|3x - 1| \ge 0$
2. $|3x - 1| \le 1$

Первое неравенство, $|3x - 1| \ge 0$, выполняется для любого действительного значения $x$, так как модуль числа всегда неотрицателен.

Остается решить второе неравенство: $|3x - 1| \le 1$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-1 \le 3x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем трем частям, чтобы избавиться от $-1$ в центре:

$-1 + 1 \le 3x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le 3x \le 2$

Разделим все части на 3:

$\frac{0}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{2}{3}$

$0 \le x \le \frac{2}{3}$

Итак, множество решений исходного неравенства — это отрезок $[0; \frac{2}{3}]$.

Шаг 2. Нахождение наибольшего решения $x_0$

По условию задачи, $x_0$ — это наибольшее решение неравенства. Из полученного множества решений $x \in [0; \frac{2}{3}]$ наибольшим значением является правая граница отрезка.

Следовательно, $x_0 = \frac{2}{3}$.

Шаг 3. Вычисление значения выражения $9 \cdot x_0$

Подставим найденное значение $x_0$ в требуемое выражение:

$9 \cdot x_0 = 9 \cdot \frac{2}{3}$

Выполним вычисление:

$9 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Значение выражения $9 \cdot x_0$: Ответ: 6