Номер 5, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Выберите промежуток (объединение промежутков), который не может являться областью определения нечетной функции:

1) $ (-10; 10) $

2) $ [-5; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 5] $

3) $ [-1; 3] $

4) $ (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $

5) $ [-\sqrt{7}; \sqrt{7}] $.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

По определению, область определения $D(f)$ нечетной функции $f(x)$ должна быть симметрична относительно начала координат. Это означает, что если число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также должно принадлежать этой области ($x \in D(f) \Rightarrow -x \in D(f)$).

Проверим каждый из предложенных промежутков на это свойство симметрии:

Этот промежуток симметричен относительно нуля. Для любого $x \in (-10; 10)$ противоположное ему число $-x$ также находится в этом промежутке. Следовательно, он может быть областью определения нечетной функции.

Это объединение промежутков также симметрично. Если взять любое число $x$ из этого множества, то и $-x$ будет ему принадлежать. Например, если $x \in (2; 5]$, то $-x \in [-5; -2)$. Множество симметрично, значит, оно может быть областью определения нечетной функции.

Этот промежуток не является симметричным. Например, число $3$ входит в этот промежуток, а противоположное ему число $-3$ — нет (поскольку $-3 < -1$). Так как условие симметричности не выполнено, этот промежуток не может быть областью определения нечетной функции.

Это множество всех действительных чисел, кроме нуля. Оно симметрично относительно нуля. Если $x \neq 0$, то и $-x \neq 0$. Этот промежуток может быть областью определения нечетной функции.

Этот промежуток симметричен относительно нуля. Для любого $x$ из этого отрезка, число $-x$ также принадлежит этому отрезку. Следовательно, он может быть областью определения нечетной функции.

Таким образом, единственный несимметричный промежуток, который не может быть областью определения нечетной функции, — это вариант под номером 3.

Ответ: в) 3).