Номер 6, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 - 6x - 5}}$

а) $(1; 5);$

б) $(-3; -2);$

в) $(-\infty; -5) \cup (-1; +\infty);$

г) $(-5; -1);$

д) $(2; 3).$

Для нахождения области определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 - 6x - 5}}$ необходимо определить все значения $x$, при которых выражение в знаменателе является действительным и отличным от нуля.

Это накладывает следующие ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным: $-x^2 - 6x - 5 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $\sqrt{-x^2 - 6x - 5} \ne 0$, что означает $-x^2 - 6x - 5 \ne 0$.

Объединив эти два условия, мы приходим к строгому неравенству:

$-x^2 - 6x - 5 > 0$

Чтобы решить это неравенство, умножим обе его части на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 6x + 5 < 0$

Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1, b=6, c=5$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корни уравнения $x = -5$ и $x = -1$. Теперь вернемся к неравенству $x^2 + 6x + 5 < 0$. График функции $f(x) = x^2 + 6x + 5$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола находится ниже оси абсцисс (то есть $f(x) < 0$) на интервале между ее корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-5; -1)$.

Таким образом, область определения исходной функции — это $x \in (-5; -1)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он соответствует варианту г).

Ответ: г) $(-5; -1)$