Номер 4, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. На рисунке 41 изображен график функции $y = f(x)$. Укажите неверное утверждение:

1) $D = [-7; 7];$

2) $E = [-3; 5];$

3) $y > 0$ при $x \in (-6; -1) \cup (5; 7];$

4) функция убывает на промежутке $(-1; 5);$

5) нулями функции являются числа -6; -1; 5.

Рис. 41

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы найти неверное утверждение, проанализируем каждое из них на основе предоставленного графика функции $y=f(x)$.

1) $D = [-7; 7]$
Область определения функции ($D$) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что самая левая точка графика имеет координату $x = -7$, а самая правая — $x = 7$. Обе точки включены в область определения, так как на концах графика изображены закрашенные точки. Таким образом, область определения функции действительно является отрезком $[-7; 7]$.
Ответ: утверждение верное.

2) $E = [-3; 5]$
Область значений функции ($E$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение функции на графике достигается в точке $x = -7$ и равно $y = -3$. Наибольшее значение достигается в точке $x = -3$ и равно $y = 5$. Функция непрерывна на всей области определения и принимает все значения между $-3$ и $5$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-3; 5]$.
Ответ: утверждение верное.

3) $y > 0$ при $x \in (-6; -1) \cup (5; 7]$
Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции находится выше оси абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что это происходит на двух интервалах.

• Первый интервал: между точками пересечения с осью $x = -6$ и $x = -1$, то есть $x \in (-6; -1)$.
• Второй интервал: от точки пересечения $x = 5$ до правого конца области определения $x = 7$. В точке $x = 5$ значение $y=0$, поэтому 5 не включается в промежуток. В точке $x = 7$ значение $y$ положительно (примерно $1.5$), поэтому 7 включается. Таким образом, второй интервал — $x \in (5; 7]$.

Объединяя эти два интервала, получаем, что $y > 0$ при $x \in (-6; -1) \cup (5; 7]$.
Ответ: утверждение верное.

4) функция убывает на промежутке $(-1; 5)$
Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Рассмотрим промежуток $(-1; 5)$.

• На промежутке от $x = -1$ до $x = 2$ функция действительно убывает (значения $y$ уменьшаются с $0$ до $-2$).
• Однако на промежутке от $x = 2$ до $x = 5$ функция возрастает (значения $y$ увеличиваются с $-2$ до $0$).

Поскольку на части заданного промежутка $(-1; 5)$ функция возрастает, утверждение о том, что она убывает на всем промежутке, является неверным.
Ответ: утверждение неверное.

5) нулями функции являются числа $-6; -1; 5$
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю ($f(x)=0$). Геометрически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что график пересекает ось $Ox$ в точках, где $x = -6$, $x = -1$ и $x = 5$.
Ответ: утверждение верное.

Таким образом, единственным неверным утверждением является утверждение под номером 4. В списке вариантов ответа это соответствует букве г).