Номер 4, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Решите неравенство $|3x-2|x<1.$

а) $(-\infty; 1)$;

б) $(-\infty; \frac{2}{3})$;

в) $[\frac{2}{3}; 1)$;

г) $(1; +\infty)$;

д) $(-\infty; +\infty)$.

Для решения неравенства $|3x-2|x < 1$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Выражение под модулем $3x-2$ равно нулю при $3x-2=0$, то есть при $x=\frac{2}{3}$.

Случай 1: $3x-2 \ge 0$

Это условие выполняется при $3x \ge 2$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|3x-2| = 3x-2$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(3x-2)x < 1$
$3x^2 - 2x < 1$
$3x^2 - 2x - 1 < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ направлены вверх (поскольку $a=3 > 0$), неравенство $3x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется между корнями.
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

Теперь необходимо учесть условие для этого случая: $x \ge \frac{2}{3}$.
Найдем пересечение множеств $(-\frac{1}{3}; 1)$ и $[\frac{2}{3}; +\infty)$.
Пересечением является промежуток $[\frac{2}{3}; 1)$.

Случай 2: $3x-2 < 0$

Это условие выполняется при $3x < 2$, то есть $x < \frac{2}{3}$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|3x-2| = -(3x-2) = 2-3x$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(2-3x)x < 1$
$2x - 3x^2 < 1$
$0 < 3x^2 - 2x + 1$
Или, что то же самое: $3x^2 - 2x + 1 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 2x + 1$.
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a=3 > 0$), парабола $y = 3x^2 - 2x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $3x^2 - 2x + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Следовательно, решение неравенства $3x^2 - 2x + 1 > 0$ — это все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Учтем условие для этого случая: $x < \frac{2}{3}$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{2}{3})$.
Пересечением является промежуток $(-\infty; \frac{2}{3})$.

Объединение решений

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в двух случаях.
Решение из случая 1: $[\frac{2}{3}; 1)$.
Решение из случая 2: $(-\infty; \frac{2}{3})$.
Объединяя эти два промежутка, получаем:
$(-\infty; \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}; 1) = (-\infty; 1)$.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту а).

Ответ: а) $(-\infty; 1)$