Номер 3, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Решите неравенство $\sqrt[5]{y^5} \ge \sqrt[4]{y^4}$.

а) $(-\infty; 0]$;

б) $(-\infty; +\infty)$;

в) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$;

г) $[0; +\infty)$;

д) $0$.

Для решения неравенства $\sqrt[5]{y^5} \ge \sqrt[4]{y^4}$ необходимо преобразовать его левую и правую части, используя свойства корней.

1. Преобразование левой части: $\sqrt[5]{y^5}$
По определению корня нечетной степени ($n$ - нечетное), $\sqrt[n]{a^n} = a$ для любого действительного числа $a$. В данном случае степень корня равна 5 (нечетное число), поэтому:
$\sqrt[5]{y^5} = y$.
Область определения этого выражения — все действительные числа, $y \in (-\infty; +\infty)$.

2. Преобразование правой части: $\sqrt[4]{y^4}$
По определению корня четной степени ($n$ - четное), $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ (модуль числа $a$). В данном случае степень корня равна 4 (четное число), поэтому:
$\sqrt[4]{y^4} = |y|$.
Область определения этого выражения также все действительные числа, $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Решение полученного неравенства
После преобразований исходное неравенство принимает вид:
$y \ge |y|$
Для решения этого неравенства с модулем рассмотрим два случая:

Случай 1: $y \ge 0$
Если $y$ — неотрицательное число, то $|y| = y$. Неравенство становится:
$y \ge y$
Это неравенство является верным для любого значения $y$, удовлетворяющего условию $y \ge 0$. Таким образом, решением в этом случае является промежуток $[0; +\infty)$.

Случай 2: $y < 0$
Если $y$ — отрицательное число, то $|y| = -y$. Неравенство становится:
$y \ge -y$
Перенесем $-y$ в левую часть:
$y + y \ge 0$
$2y \ge 0$
$y \ge 0$
Теперь мы имеем систему условий:
$\begin{cases} y < 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше нуля и больше либо равно нулю.

4. Итоговое решение
Объединяя результаты обоих случаев, мы получаем, что решение исходного неравенства состоит только из решения для первого случая, то есть $y \in [0; +\infty)$.
Этот результат соответствует варианту ответа г).

Ответ: г) $[0; +\infty)$.