Номер 12, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $5 \cdot S$, где $S$ — сумма корней уравнения

$4|5x+8| - 25x^2 = 80x + 64$.

Чтобы найти значение выражения $5 \cdot S$, необходимо сначала решить заданное уравнение, найти его корни и вычислить их сумму $S$.

Исходное уравнение:

$4|5x+8| - 25x^2 = 80x + 64$

Перенесем слагаемые, не содержащие модуль, в правую часть уравнения:

$4|5x+8| = 25x^2 + 80x + 64$

Выражение в правой части является полным квадратом суммы, так как $25x^2 + 80x + 64 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 8 + 8^2 = (5x+8)^2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$4|5x+8| = (5x+8)^2$

Для дальнейшего решения введем замену переменной. Пусть $y = 5x+8$. Тогда уравнение примет вид:

$4|y| = y^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$y^2 - 4|y| = 0$

Решим это уравнение, рассмотрев два случая для раскрытия модуля.

1. Если $y \ge 0$:

Модуль раскрывается со знаком плюс: $|y| = y$.

$y^2 - 4y = 0$

$y(y - 4) = 0$

Получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 4$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

2. Если $y < 0$:

Модуль раскрывается со знаком минус: $|y| = -y$.

$y^2 - 4(-y) = 0$

$y^2 + 4y = 0$

$y(y + 4) = 0$

Получаем два корня: $y_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $y<0$) и $y_4 = -4$ (удовлетворяет условию $y<0$).

Итак, мы нашли три различных значения для $y$: $0$, $4$ и $-4$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти корни $x$ исходного уравнения.

• Для $y = 0$: $5x+8 = 0 \implies 5x = -8 \implies x_1 = -\frac{8}{5}$.
• Для $y = 4$: $5x+8 = 4 \implies 5x = -4 \implies x_2 = -\frac{4}{5}$.
• Для $y = -4$: $5x+8 = -4 \implies 5x = -12 \implies x_3 = -\frac{12}{5}$.

Найдем сумму корней $S$:

$S = x_1 + x_2 + x_3 = \left(-\frac{8}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{-8-4-12}{5} = -\frac{24}{5}$.

Сумма корней $S$ является неправильной дробью. Выделим целую часть: $S = -\frac{24}{5} = -4\frac{4}{5}$.

Наконец, вычислим значение искомого выражения $5 \cdot S$:

$5 \cdot S = 5 \cdot \left(-\frac{24}{5}\right) = -24$.

Ответ: -24.