Номер 8, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Решите неравенство $|x - 2x^2| > 2x^2 - x$.

а) $(-0,5; 0);

б) $(0; 0,5);

в) $(-\infty; 0) \cup (0,5; +\infty);

г) $(-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty);

д) $\emptyset$.

Исходное неравенство: $|x - 2x^2| > 2x^2 - x$.

Заметим, что выражение в правой части неравенства является противоположным выражению под знаком модуля: $2x^2 - x = -(x - 2x^2)$. Если мы сделаем замену $t = x - 2x^2$, то исходное неравенство примет вид: $|t| > -t$

Это неравенство справедливо тогда и только тогда, когда подмодульное выражение строго больше нуля, то есть $t > 0$. Разберем, почему:

• Если $t > 0$, то $|t| = t$. Неравенство $t > -t$ становится $2t > 0$, что верно при $t > 0$.
• Если $t = 0$, то $|t| = 0$. Неравенство $0 > -0$ (или $0 > 0$) неверно.
• Если $t < 0$, то $|t| = -t$. Неравенство $-t > -t$ неверно.

Таким образом, решение исходного неравенства эквивалентно решению неравенства $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$ и решим неравенство: $x - 2x^2 > 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x - 2x^2 = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(1 - 2x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$
$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь решим неравенство $x - 2x^2 > 0$ методом интервалов. Графиком функции $y = -2x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между своими корнями.

Решением неравенства является интервал $(0; 0.5)$. Этот результат соответствует варианту б).

Ответ: б) $(0; 0,5)$