Номер 13, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите сумму всех целых значений аргумента, при которых функция $y = \frac{5-x}{|x+3| + |x-5| - 8}$ не определена.

Функция не определена в тех точках, где ее знаменатель обращается в нуль. Следовательно, нам нужно найти значения аргумента $x$, для которых выполняется равенство:

$$|x+3| + |x-5| - 8 = 0$$

Перенесем 8 в правую часть уравнения:

$$|x+3| + |x-5| = 8$$

Данное уравнение можно решить с помощью геометрической интерпретации модуля. Выражение $|a-b|$ представляет собой расстояние между точками $a$ и $b$ на числовой прямой. Наше уравнение можно переписать в виде:

$$|x - (-3)| + |x - 5| = 8$$

Это означает, что сумма расстояний от некоторой точки $x$ до точек $-3$ и $5$ равна $8$.

Найдем расстояние между точками $-3$ и $5$:

$$|5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$$

Поскольку расстояние между точками $-3$ и $5$ равно $8$, то сумма расстояний от любой точки $x$, расположенной на отрезке между $-3$ и $5$, до этих точек будет в точности равна $8$. Если же точка $x$ лежит вне этого отрезка, сумма расстояний будет больше $8$.

Таким образом, решением уравнения являются все $x$, принадлежащие отрезку $[-3, 5]$.

Функция не определена для всех $x \in [-3, 5]$.

В задаче требуется найти сумму всех целых значений аргумента из этого промежутка. Перечислим эти целые числа:

$$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$$

Найдем их сумму:

$$S = (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$$S = (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 + 4 + 5$$

$$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 9 = 9$$

Ответ: 9