Номер 15, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите сумму целых корней уравнения

$\frac{|x^2 - 6x + 8| + |x^2 - 6x + 5| - 3}{\sqrt{25 - x^2}} = 0.$

Исходное уравнение:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Знаменатель дроби $\sqrt{25 - x^2}$ должен быть строго больше нуля, так как деление на ноль не определено, а выражение под корнем не может быть отрицательным.

Решением этого неравенства является интервал:

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-5, 5)$.

2. Решение уравнения

Приравниваем числитель к нулю:

Для упрощения введем замену. Пусть $y = x^2 - 6x$. Уравнение примет вид:

Это уравнение можно интерпретировать геометрически: сумма расстояний от точки $y$ до точек -8 и -5 равна 3. Расстояние между точками -8 и -5 на числовой прямой как раз равно $|-5 - (-8)| = 3$. Это означает, что точка $y$ должна лежать на отрезке между -8 и -5.

Следовательно, решением для $y$ является отрезок:

3. Обратная замена и нахождение $x$

Выполняем обратную замену $y = x^2 - 6x$:

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. График параболы $f(x) = x^2 - 6x + 8$ направлен ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Второе неравенство:

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. График параболы $g(x) = x^2 - 6x + 5$ направлен ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке $x \in [1, 5]$.

Решением системы является пересечение полученных множеств:

4. Учет ОДЗ и нахождение целых корней

Теперь необходимо учесть ОДЗ $x \in (-5, 5)$. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

Задача состоит в том, чтобы найти сумму целых корней. Выберем все целые числа из полученного множества $[1, 2] \cup [4, 5)$:

• Из отрезка $[1, 2]$: $x=1$, $x=2$.
• Из полуинтервала $[4, 5)$: $x=4$.

Таким образом, целые корни уравнения: 1, 2, 4.

5. Вычисление суммы целых корней

Суммируем найденные целые корни:

Сумма целых корней уравнения: Ответ: 7