Номер 14, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите сумму натуральных корней уравнения

$|5x - x^2 - 8| + |x - 9| = x^2 - 6x + 17.$

Исходное уравнение: $$|5x - x^2 - 8| + |x - 9| = x^2 - 6x + 17$$ Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$ и перепишем выражение в первом модуле: $$|5x - x^2 - 8| = |-(x^2 - 5x + 8)| = |x^2 - 5x + 8|$$ Тогда уравнение примет вид: $$|x^2 - 5x + 8| + |x - 9| = x^2 - 6x + 17$$

Для решения уравнения такого типа, заметим, что правая часть связана с выражениями под модулями. Пусть $u = x^2 - 5x + 8$ и $v = x - 9$. Тогда правая часть уравнения $x^2 - 6x + 17$ может быть представлена как разность $u$ и $v$: $$u - v = (x^2 - 5x + 8) - (x - 9) = x^2 - 5x + 8 - x + 9 = x^2 - 6x + 17$$ Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде: $$|u| + |v| = u - v$$

Равенство вида $|a| + |b| = a - b$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \ge 0$ и $b \le 0$. Это следует из того, что $|a| \ge a$ и $|b| \ge -b$. Складывая эти неравенства, получаем $|a| + |b| \ge a - b$. Равенство достигается только при одновременном выполнении условий $|a| = a$ (что означает $a \ge 0$) и $|b| = -b$ (что означает $b \le 0$).

Применительно к нашему случаю, это означает, что исходное уравнение равносильно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} u \ge 0 \\ v \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 5x + 8 \ge 0 \\ x - 9 \le 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 8 \ge 0$.
Это квадратичное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 8 = 0$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), то парабола $y = x^2 - 5x + 8$ целиком расположена выше оси Ox. Это значит, что выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x - 9 \le 0$.
$$x \le 9$$ Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 9]$.

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений, то есть $x \le 9$.

По условию задачи, нам нужно найти сумму натуральных корней. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Натуральные числа, удовлетворяющие условию $x \le 9$, это: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Найдем их сумму. Это сумма арифметической прогрессии: $$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \cdot (1 + 9)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$$

Сумма натуральных корней уравнения: Ответ: 45