Номер 6, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите сумму целых решений неравенства $|9 - x^2| + 8x < 0$.

а) -45;

б) -35;

в) -44;

г) -36;

д) -32.

Для решения неравенства $|9 - x^2| + 8x < 0$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, $9 - x^2 \ge 0$.

Данное условие выполняется при $x^2 \le 9$, что соответствует промежутку $x \in [-3, 3]$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|9 - x^2| = 9 - x^2$. Неравенство принимает вид:
$9 - x^2 + 8x < 0$
Приведем к стандартному виду и умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$-x^2 + 8x + 9 < 0 \implies x^2 - 8x - 9 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 8x - 9$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями, то есть при $x \in (-\infty, -1) \cup (9, \infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение этого решения с условием для данного случая, $x \in [-3, 3]$:
$([-3, 3]) \cap ((-\infty, -1) \cup (9, \infty)) = [-3, -1)$.
Целые решения, входящие в этот интервал: -3, -2.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, $9 - x^2 < 0$.

Данное условие выполняется при $x^2 > 9$, что соответствует объединению промежутков $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|9 - x^2| = -(9 - x^2) = x^2 - 9$. Неравенство принимает вид:
$(x^2 - 9) + 8x < 0$
$x^2 + 8x - 9 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 8x - 9$ направлены вверх, неравенство выполняется в интервале между корнями, то есть при $x \in (-9, 1)$.
Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая, $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$:
$(-9, 1) \cap ((-\infty, -3) \cup (3, \infty)) = (-9, -3)$.
Целые решения, входящие в этот интервал: -8, -7, -6, -5, -4.

Итоговые решения и их сумма

Объединяем все найденные целые решения из обоих случаев:
$\{-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2\}$.
Далее находим сумму этих целых решений:
$S = (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) = -35$.
Полученный результат соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) -35.