Номер 11, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите число корней уравнения

$\frac{1}{|x^2 - 5x + 6|} = \frac{|x - 1,5|}{x^2 - 5x + 6}$

Исходное уравнение:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x$, при которых $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$

Отсюда очевидно, что корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

2. Анализ и решение уравнения

Для решения уравнения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем в левой части, то есть от знака $x^2 - 5x + 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=2$ и $x=3$.

• Выражение $x^2 - 5x + 6 > 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
• Выражение $x^2 - 5x + 6 < 0$ при $x \in (2, 3)$.

Случай 1: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Этот случай соответствует интервалам $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Поскольку $x^2 - 5x + 6$ положительно, то $|x^2 - 5x + 6| = x^2 - 5x + 6$. Уравнение принимает вид:

Так как знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители:

Это уравнение распадается на два:

1. $x - 1.5 = 1 \implies x = 2.5$
2. $x - 1.5 = -1 \implies x = 0.5$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни рассматриваемому интервалу $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

• Корень $x = 2.5$ не принадлежит этому интервалу, так как $2 < 2.5 < 3$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x = 0.5$ принадлежит этому интервалу, так как $0.5 < 2$. Следовательно, $x = 0.5$ является корнем исходного уравнения.

Случай 2: $x^2 - 5x + 6 < 0$

Этот случай соответствует интервалу $x \in (2, 3)$.

Поскольку $x^2 - 5x + 6$ отрицательно, то $|x^2 - 5x + 6| = -(x^2 - 5x + 6)$. Уравнение принимает вид:

Умножим обе части на $x^2 - 5x + 6$ (что не равно нулю на данном интервале):

Модуль любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

3. Заключение

Проанализировав все возможные случаи, мы нашли только один корень, удовлетворяющий исходному уравнению и его области допустимых значений: $x = 0.5$.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень. Ответ: 1