Номер 9, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите произведение корней уравнения $ \frac{x^2 + 5|x| + 6}{x^2 - 9} = 2. $

а) -16;

б) -4;

в) -64;

г) -9;

д) -100.

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Уравнение представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю:

$$ x^2 - 9 \neq 0 $$

$$ x^2 \neq 9 $$

Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

2. Упрощение уравнения с помощью замены переменной

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2 + 5|x| + 6}{x^2 - 9} = 2 $$

Так как $x^2 = |x|^2$, мы можем сделать замену переменной для удобства. Пусть $t = |x|$. Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$$ \frac{t^2 + 5t + 6}{t^2 - 9} = 2 $$

3. Решение уравнения относительно новой переменной $t$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(t^2 - 9)$, предполагая, что он не равен нулю:

$$ t^2 + 5t + 6 = 2(t^2 - 9) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ t^2 + 5t + 6 = 2t^2 - 18 $$

$$ 2t^2 - t^2 - 5t - 18 - 6 = 0 $$

$$ t^2 - 5t - 24 = 0 $$

Получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 $$

$$ \sqrt{D} = 11 $$

Теперь найдем значения $t$:

$$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$

$$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

4. Проверка корней $t$ и возврат к переменной $x$

Согласно нашему условию замены, $t \ge 0$.

• $t_1 = 8$ удовлетворяет этому условию.
• $t_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому является посторонним корнем.

Единственное подходящее значение $t = 8$. Сделаем обратную замену:

$$ |x| = 8 $$

Это уравнение имеет два корня:

$$ x_1 = 8 \quad \text{и} \quad x_2 = -8 $$

Оба корня ($8$ и $-8$) входят в область допустимых значений, так как не равны $3$ и $-3$.

5. Нахождение произведения корней

Найдем произведение найденных корней уравнения:

$$ x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot (-8) = -64 $$

Произведение корней уравнения равно -64. Это соответствует варианту ответа в).

Ответ: в) -64.