Номер 5, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Решите уравнение $|x^2 + 11x + 28| = |x^2 - 14|$.

a) $-3\frac{9}{11}$;

б) $-3,5; -2$;

в) $-3\frac{9}{11}; -3,5; -2$;

г) $0$;

д) $-3\frac{9}{11}; 2; 3,5$.

Данное уравнение $|x^2 + 11x + 28| = |x^2 - 14|$ является уравнением вида $|A| = |B|$. Такое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Подмодульные выражения равны.

$x^2 + 11x + 28 = x^2 - 14$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а остальные члены - в другую:

$x^2 - x^2 + 11x = -14 - 28$

$11x = -42$

Отсюда находим первый корень:

$x_1 = -\frac{42}{11}$

Чтобы выполнить требование о выделении целой части из неправильной дроби, преобразуем полученную дробь в смешанное число:

$x_1 = -3\frac{9}{11}$

Случай 2: Подмодульные выражения противоположны.

$x^2 + 11x + 28 = -(x^2 - 14)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 + 11x + 28 = -x^2 + 14$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$(x^2 + x^2) + 11x + (28 - 14) = 0$

$2x^2 + 11x + 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2$, $b=11$, $c=14$.

Дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9$

Поскольку дискриминант положительный ($\Delta > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 3}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

$x_3 = \frac{-11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Объединив решения из обоих случаев, получаем три корня исходного уравнения: $-3\frac{9}{11}$, $-3,5$ и $-2$.

Этот набор корней соответствует варианту ответа в).

Ответ: в) $-3\frac{9}{11}; -3,5; -2$