Номер 6, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите число корней уравнения $ \vert x^2 - 2x - 3 \vert = x - 3 $ на отрезке $ [-3; 5] $.

a) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 5.

а) Для нахождения числа корней уравнения $|x^2 - 2x - 3| = x - 3$ на отрезке $[-3; 5]$ необходимо решить его с учётом всех ограничений.

1. Уравнение вида $|A| = B$ имеет решения только при условии, что правая часть неотрицательна, то есть $B \ge 0$. В нашем случае это означает:

$x - 3 \ge 0$, откуда следует $x \ge 3$.

2. По условию задачи, мы ищем корни на отрезке $x \in [-3; 5]$.

Объединяя оба условия ($x \ge 3$ и $x \in [-3; 5]$), получаем, что искомые корни должны принадлежать отрезку $[3; 5]$.

3. Теперь решим уравнение, раскрыв модуль. Для этого определим знак выражения $x^2 - 2x - 3$ на отрезке $[3; 5]$. Корни квадратного трёхчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, выражение $x^2 - 2x - 3$ неотрицательно ( $\ge 0$ ) при $x \ge 3$. На отрезке $[3; 5]$ это условие выполняется, поэтому $|x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = x - 3$

Переносим все члены в левую часть:

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Получаем два возможных решения: $x = 0$ и $x = 3$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку $[3; 5]$, на котором мы искали решение:

• $x = 0$ не входит в отрезок $[3; 5]$.
• $x = 3$ входит в отрезок $[3; 5]$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=3$ на заданном отрезке. Число корней равно 1.