Номер 9, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите значение выражения $n \cdot S$, где $n$ — число корней уравнения

$x^2 - 5x + \frac{35}{x} + \frac{49}{x^2} = 14$, а $S$ — их сумма.

а) 40;

б) -14;

в) -28;

г) 10;

д) 20.

Для решения задачи необходимо найти значение выражения $n \cdot S$, где $n$ — это количество корней заданного уравнения, а $S$ — их сумма.

Дано уравнение:

$$x^2 - 5x + \frac{35}{x} + \frac{49}{x^2} = 14$$

1. Преобразование уравнения

Прежде всего, отметим, что область допустимых значений (ОДЗ) уравнения $x \neq 0$, так как $x$ находится в знаменателе. Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$$(x^2 + \frac{49}{x^2}) + (-5x + \frac{35}{x}) - 14 = 0$$

Вынесем общие множители:

$$(x^2 + (\frac{7}{x})^2) - 5(x - \frac{7}{x}) - 14 = 0$$

2. Введение замены переменной

Данный тип уравнений (возвратные) решается с помощью введения новой переменной. Пусть:

$$y = x - \frac{7}{x}$$

Чтобы выразить выражение в первой скобке через $y$, возведем замену в квадрат:

$$y^2 = (x - \frac{7}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{7}{x} + (\frac{7}{x})^2 = x^2 - 14 + \frac{49}{x^2}$$

Из этого следует, что:

$$x^2 + \frac{49}{x^2} = y^2 + 14$$

3. Решение уравнения относительно новой переменной

Подставим выражения с $y$ в преобразованное уравнение:

$$(y^2 + 14) - 5y - 14 = 0$$

Упростим полученное уравнение:

$$y^2 - 5y = 0$$

$$y(y - 5) = 0$$

У этого уравнения два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 5$.

4. Обратная замена и нахождение корней исходного уравнения

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = 0$

$$x - \frac{7}{x} = 0$$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$$x^2 - 7 = 0 \implies x^2 = 7$$

Получаем два корня: $x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$.

Случай 2: $y_2 = 5$

$$x - \frac{7}{x} = 5$$

Умножим обе части на $x$ и перенесем все в левую часть:

$$x^2 - 7 = 5x \implies x^2 - 5x - 7 = 0$$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 25 + 28 = 53$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня ($x_3$ и $x_4$).

5. Определение $n$ и $S$

Всего мы получили четыре различных действительных корня, так как ни один из них не равен нулю и они все различны. Следовательно, число корней $n = 4$.

Теперь найдем сумму всех корней $S$.

Сумма первых двух корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.

Сумму двух других корней ($x_3$, $x_4$) найдем по теореме Виета для уравнения $x^2 - 5x - 7 = 0$: $x_3 + x_4 = -\frac{-5}{1} = 5$.

Общая сумма всех корней:

$$S = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) = 0 + 5 = 5$$

6. Вычисление итогового значения

Найдем значение выражения $n \cdot S$:

$$n \cdot S = 4 \cdot 5 = 20$$

Этот результат соответствует варианту ответа д).

Ответ: д) 20