Номер 2, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Решите уравнение

$(x^2 + 5x + 6)^2 + (x^2 + 6x + 9)^2 = 0.$

а) $-3;$

б) $-2; -3;$

в) $-5; -6;$

г) $0;$

д) $-9.$

Данное уравнение представляет собой сумму двух выражений в квадрате, равную нулю:

$$ (x^2 + 5x + 6)^2 + (x^2 + 6x + 9)^2 = 0 $$

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($a^2 \ge 0$), сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 5x + 6 = 0 & (1) \\ x^2 + 6x + 9 = 0 & (2) \end{cases} $$

Решением исходного уравнения будет значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Решим первое уравнение (1): $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -2$

$x_2 = -3$

Итак, корни первого уравнения: $\{-2, -3\}$.

Решим второе уравнение (2): $x^2 + 6x + 9 = 0$.

Левая часть уравнения является формулой полного квадрата суммы:

$$ x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2 $$

Следовательно, уравнение принимает вид:

$$ (x+3)^2 = 0 $$

Отсюда следует, что $x+3 = 0$, то есть $x = -3$.

Корень второго уравнения: $\{-3\}$.

Нахождение общего решения:

Теперь необходимо найти значение $x$, которое является корнем обоих уравнений. Сравнивая полученные решения:

• Корни уравнения (1): $\{-2, -3\}$
• Корень уравнения (2): $\{-3\}$

Общим корнем является $x = -3$.

Это единственное решение исходного уравнения. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту а).