Номер 14, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите сумму корней уравнения $(\frac{x}{x-1})^2 + (\frac{x}{x+1})^2 = \frac{45}{16}$.

Дано уравнение:

$$ \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = \frac{45}{16} $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

Для решения уравнения преобразуем его левую часть. Заметим, что она имеет вид $a^2 + b^2$, где $a = \frac{x}{x-1}$ и $b = \frac{x}{x+1}$. Воспользуемся тождеством $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Найдем сумму $a+b$ и произведение $ab$:

$$ a+b = \frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1) + x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+x^2-x}{x^2-1} = \frac{2x^2}{x^2-1} $$

$$ ab = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x^2}{x^2-1} $$

Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $y = \frac{x^2}{x^2-1}$.

Тогда $a+b = 2y$ и $ab = y$. Подставим эти выражения в исходное уравнение, используя выведенное тождество:

$$ (a+b)^2 - 2ab = (2y)^2 - 2y = 4y^2 - 2y $$

Получаем уравнение относительно $y$:

$$ 4y^2 - 2y = \frac{45}{16} $$

Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дроби:

$$ 64y^2 - 32y = 45 $$

$$ 64y^2 - 32y - 45 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-32)^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-45) = 1024 + 11520 = 12544 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112 $$

Найдем корни для $y$:

$$ y_1 = \frac{-(-32) + 112}{2 \cdot 64} = \frac{32 + 112}{128} = \frac{144}{128} = \frac{9}{8} $$

$$ y_2 = \frac{-(-32) - 112}{2 \cdot 64} = \frac{32 - 112}{128} = \frac{-80}{128} = -\frac{5}{8} $$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $y = \frac{9}{8}$

$$ \frac{x^2}{x^2-1} = \frac{9}{8} $$

$$ 8x^2 = 9(x^2-1) $$

$$ 8x^2 = 9x^2 - 9 $$

$$ x^2 = 9 $$

$$ x_{1,2} = \pm 3 $$

Случай 2: $y = -\frac{5}{8}$

$$ \frac{x^2}{x^2-1} = -\frac{5}{8} $$

$$ 8x^2 = -5(x^2-1) $$

$$ 8x^2 = -5x^2 + 5 $$

$$ 13x^2 = 5 $$

$$ x^2 = \frac{5}{13} $$

$$ x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{5}{13}} $$

Мы получили четыре корня: $3, -3, \sqrt{\frac{5}{13}}, -\sqrt{\frac{5}{13}}$. Все они удовлетворяют ОДЗ.

Сумма корней уравнения:
Для нахождения итогового ответа сложим все найденные корни:

$$ S = 3 + (-3) + \sqrt{\frac{5}{13}} + \left(-\sqrt{\frac{5}{13}}\right) = 0 + 0 = 0 $$

Ответ: 0