Номер 8, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите сумму корней уравнения

$\frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1.$

а) 9;

б) -18;

в) 4;

г) -1;

д) 0.

Исходное уравнение:

$$ \frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1 $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Для того чтобы уравнение имело смысл, знаменатели дробей не должны равняться нулю. Проверим каждый знаменатель.

• Квадратный трехчлен $4x^2 - 8x + 7$. Найдем его дискриминант:
  $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 64 - 112 = -48$.
  Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=4 > 0$, выражение $4x^2 - 8x + 7$ всегда положительно при любом значении $x$.
• Квадратный трехчлен $4x^2 - 10x + 7$. Найдем его дискриминант:
  $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 100 - 112 = -12$.
  Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=4 > 0$, выражение $4x^2 - 10x + 7$ также всегда положительно.

Таким образом, область допустимых значений уравнения — все действительные числа ($x \in R$).

2. Решение уравнения

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения. Подстановка дает $0/7 + 0/7 = 0$, что не равно 1. Следовательно, $x \neq 0$.
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):

$$ \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{4x^2 - 8x + 7}{x}} + \frac{\frac{3x}{x}}{\frac{4x^2 - 10x + 7}{x}} = 1 $$

$$ \frac{4}{4x - 8 + \frac{7}{x}} + \frac{3}{4x - 10 + \frac{7}{x}} = 1 $$

Введем замену переменной. Пусть $y = 4x + \frac{7}{x}$. Уравнение примет вид:

$$ \frac{4}{y - 8} + \frac{3}{y - 10} = 1 $$

Решим это рациональное уравнение относительно $y$, учитывая, что $y \neq 8$ и $y \neq 10$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(y - 8)(y - 10)$:

$$ 4(y - 10) + 3(y - 8) = (y - 8)(y - 10) $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 4y - 40 + 3y - 24 = y^2 - 10y - 8y + 80 $$

$$ 7y - 64 = y^2 - 18y + 80 $$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$$ y^2 - 18y - 7y + 80 + 64 = 0 $$

$$ y^2 - 25y + 144 = 0 $$

Найдем корни этого уравнения с помощью теоремы Виета:
$y_1 + y_2 = 25$
$y_1 \cdot y_2 = 144$
Отсюда корни $y_1 = 9$ и $y_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условиям ($y \neq 8, y \neq 10$).

3. Обратная замена и нахождение корней $x$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

• Случай 1: $y = 9$

  $$ 4x + \frac{7}{x} = 9 $$

  $$ 4x^2 + 7 = 9x $$

  $$ 4x^2 - 9x + 7 = 0 $$

  Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
• Случай 2: $y = 16$

  $$ 4x + \frac{7}{x} = 16 $$

  $$ 4x^2 + 7 = 16x $$

  $$ 4x^2 - 16x + 7 = 0 $$

  Найдем дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144$. Так как $D > 0$, это уравнение имеет два действительных корня.

4. Нахождение суммы корней

Поскольку действительные корни исходного уравнения существуют только во втором случае, они являются корнями уравнения $4x^2 - 16x + 7 = 0$.
Для нахождения суммы корней $x_1$ и $x_2$ воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, согласно которой сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Для нашего уравнения $a = 4$, $b = -16$, $c = 7$.

Сумма корней равна:

$$ x_1 + x_2 = -\frac{-16}{4} = \frac{16}{4} = 4 $$

Сумма корней уравнения Ответ: 4.