Номер 10, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите число целых корней уравнения

$(\frac{x-1}{x+5})^2 + 14 \cdot \frac{x^2-1}{x^2-25} - 15(\frac{x+1}{x-5})^2 = 0.$

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Уравнение содержит дроби, поэтому знаменатели не могут быть равны нулю:

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq \pm 5$

Таким образом, ОДЗ: $x$ – любое действительное число, кроме $5$ и $-5$.

2. Преобразование уравнения.

Исходное уравнение:

$\left(\frac{x-1}{x+5}\right)^2 + 14 \cdot \frac{x^2-1}{x^2-25} - 15\left(\frac{x+1}{x-5}\right)^2 = 0$

Заметим, что средний член можно представить в виде произведения двух других выражений:

$\frac{x^2-1}{x^2-25} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-5)(x+5)} = \left(\frac{x-1}{x+5}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x-5}\right)$

Подставим это в уравнение:

$\left(\frac{x-1}{x+5}\right)^2 + 14\left(\frac{x-1}{x+5}\right)\left(\frac{x+1}{x-5}\right) - 15\left(\frac{x+1}{x-5}\right)^2 = 0$

3. Введение замены переменных.

Чтобы упростить уравнение, введем замену:

Пусть $a = \frac{x-1}{x+5}$ и $b = \frac{x+1}{x-5}$.

Уравнение примет вид однородного квадратного уравнения:

$a^2 + 14ab - 15b^2 = 0$

4. Решение полученного квадратного уравнения.

Разделим обе части уравнения на $b^2$ (можно убедиться, что $b \neq 0$, так как если $b=0$, то $x=-1$, и исходное уравнение не выполняется: $(\frac{-2}{4})^2 = \frac{1}{4} \neq 0$).

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + 14\left(\frac{a}{b}\right) - 15 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$.

$t^2 + 14t - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$t_1 \cdot t_2 = -15$

$t_1 + t_2 = -14$

Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -15$.

5. Обратная замена и нахождение корней исходного уравнения.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 1$

$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$

$\frac{x-1}{x+5} = \frac{x+1}{x-5}$

$(x-1)(x-5) = (x+1)(x+5)$

$x^2 - 5x - x + 5 = x^2 + 5x + x + 5$

$x^2 - 6x + 5 = x^2 + 6x + 5$

$-6x = 6x$

$12x = 0$

$x_1 = 0$

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ и является целым числом.

Случай 2: $t = -15$

$\frac{a}{b} = -15 \implies a = -15b$

$\frac{x-1}{x+5} = -15 \cdot \frac{x+1}{x-5}$

$(x-1)(x-5) = -15(x+1)(x+5)$

$x^2 - 6x + 5 = -15(x^2 + 6x + 5)$

$x^2 - 6x + 5 = -15x^2 - 90x - 75$

$16x^2 + 84x + 80 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$4x^2 + 21x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 4 \cdot 20 = 441 - 320 = 121 = 11^2$

$x = \frac{-21 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-21 \pm 11}{8}$

$x_2 = \frac{-21 - 11}{8} = \frac{-32}{8} = -4$

$x_3 = \frac{-21 + 11}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ и является целым числом.

Корень $x_3 = -\frac{5}{4}$ удовлетворяет ОДЗ, но не является целым числом.

6. Вывод.

Уравнение имеет два целых корня: $0$ и $-4$.

Число целых корней уравнения: Ответ: 2