Номер 12, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите наибольший корень уравнения

$ (x^2 + 4x + 3)^2 + (x^2 - 2x - 15)^2 = 36(x + 3)^2 $

Дано уравнение: $(x^2 + 4x + 3)^2 + (x^2 - 2x - 15)^2 = 36(x + 3)^2$.

Для решения этого уравнения мы можем упростить его, разложив на множители квадратные трехчлены в левой части. Заметим, что они имеют общий корень.

1. Разложение трехчленов на множители

Найдем корни первого трехчлена $x^2 + 4x + 3$. Решим уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Корни легко находятся: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.

Найдем корни второго трехчлена $x^2 - 2x - 15$. Решим уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-15$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$.

2. Подстановка и упрощение уравнения

Подставим полученные разложения в исходное уравнение:

$((x+1)(x+3))^2 + ((x-5)(x+3))^2 = 36(x+3)^2$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:

$(x+1)^2(x+3)^2 + (x-5)^2(x+3)^2 = 36(x+3)^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(x+1)^2(x+3)^2 + (x-5)^2(x+3)^2 - 36(x+3)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x+3)^2$ за скобки:

$(x+3)^2 \left[ (x+1)^2 + (x-5)^2 - 36 \right] = 0$

3. Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум независимым случаям:

Случай 1: $(x+3)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x+3=0$, и мы находим первый корень:

$x_1 = -3$

Случай 2: $(x+1)^2 + (x-5)^2 - 36 = 0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 10x + 25) - 36 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x + 26 - 36 = 0$

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы упростить его:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $-5$.
Отсюда находим остальные корни: $x_2 = 5$ и $x_3 = -1$.

4. Нахождение наибольшего корня

Мы нашли все корни исходного уравнения: $-3$, $-1$ и $5$.
Чтобы найти наибольший корень, сравним полученные значения: $5 > -1 > -3$.

Таким образом, наибольший корень уравнения равен 5.

Ответ: 5