Номер 11, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите сумму корней уравнения

$(x-4)(x+5)(x+10)(x-2) = 18x^2$.

Дано уравнение:

$(x-4)(x+5)(x+10)(x-2) = 18x^2$

В первую очередь проверим, является ли $x=0$ корнем этого уравнения. При подстановке $x=0$ в левую часть получаем $(-4)(5)(10)(-2) = 400$, а в правую часть $18 \cdot 0^2 = 0$. Поскольку $400 \neq 0$, $x=0$ не является корнем уравнения.

Перегруппируем множители в левой части уравнения так, чтобы произведения свободных членов в парах скобок были одинаковыми. Замечаем, что $(-4) \cdot 5 = -20$ и $10 \cdot (-2) = -20$.

$[(x-4)(x+5)] \cdot [(x+10)(x-2)] = 18x^2$

Раскроем скобки внутри каждой группы:

$(x^2 + x - 20)(x^2 + 8x - 20) = 18x^2$

Так как мы установили, что $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$. Для этого разделим каждый из двух множителей в левой части на $x$:

$(\frac{x^2 + x - 20}{x}) (\frac{x^2 + 8x - 20}{x}) = \frac{18x^2}{x^2}$

$(x + 1 - \frac{20}{x})(x + 8 - \frac{20}{x}) = 18$

Это уравнение можно упростить с помощью замены переменной. Пусть $y = x - \frac{20}{x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(y+1)(y+8) = 18$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 9y + 8 = 18$

$y^2 + 9y - 10 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -10$ и $y_1 + y_2 = -9$. Подбором находим корни $y_1 = 1$ и $y_2 = -10$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$. Исходное уравнение распадается на два:

1. При $y=1$:

$x - \frac{20}{x} = 1$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 - 20 = x$

$x^2 - x - 20 = 0$

2. При $y=-10$:

$x - \frac{20}{x} = -10$

$x^2 - 20 = -10x$

$x^2 + 10x - 20 = 0$

Нам нужно найти сумму всех корней исходного уравнения. Для этого найдем сумму корней каждого из двух полученных квадратных уравнений и сложим их. Воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, где сумма корней равна $-b/a$.

Для уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ сумма корней $S_1 = -(\frac{-1}{1}) = 1$.

Для уравнения $x^2 + 10x - 20 = 0$ сумма корней $S_2 = -(\frac{10}{1}) = -10$.

Искомая сумма всех корней исходного уравнения равна сумме этих сумм:

$S = S_1 + S_2 = 1 + (-10) = -9$.

Ответ: -9