Номер 4, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Найдите сумму корней уравнения

$(x^2 - 6x + 8)^2 - 9x^2 - 6x = 1.$

а) 7;

б) 63;

в) 12;

г) 9;

д) 27.

Для нахождения суммы корней уравнения необходимо привести его к стандартному виду многочлена и затем воспользоваться теоремой Виета.

Исходное уравнение:

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду многочлена.

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

Далее, раскроем скобки в первом слагаемом $(x^2 - 6x + 8)^2$. Это можно сделать, представив выражение как квадрат суммы $((x^2 - 6x) + 8)$:

Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить многочлен в стандартном виде:

Шаг 2: Применение теоремы Виета.

Мы получили полиномиальное уравнение четвертой степени. Для любого многочлена вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, сумма его корней (включая комплексные и с учетом кратности) определяется по формуле Виета:

В нашем уравнении $x^4 - 12x^3 + 43x^2 - 102x + 63 = 0$ имеем следующие коэффициенты:

• Старший коэффициент $a_4 = 1$ (коэффициент при $x^4$).
• Коэффициент при $x^3$ равен $a_3 = -12$.

Подставляя эти значения в формулу Виета, находим сумму корней:

Таким образом, сумма всех корней данного уравнения равна 12, что соответствует варианту ответа в).

Ответ: 12