Номер 13, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите удвоенную сумму корней уравнения

$2(x^2 - x + 1)^2 = x^2 (8x^2 - 5x + 5)$.

Для решения данного уравнения и нахождения удвоенной суммы его корней, сначала преобразуем его к стандартному виду многочлена.

Исходное уравнение:

$$2(x^2 - x + 1)^2 = x^2(8x^2 - 5x + 5)$$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$$2(x^2 - x + 1)^2 = 2(x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x) = 2(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2$$

Правая часть:

$$x^2(8x^2 - 5x + 5) = 8x^4 - 5x^3 + 5x^2$$

Приравняем полученные выражения и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$:

$$2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2 = 8x^4 - 5x^3 + 5x^2$$

$$0 = (8x^4 - 2x^4) + (-5x^3 - (-4x^3)) + (5x^2 - 6x^2) + (0x - (-4x)) + (0 - 2)$$

$$0 = 6x^4 - x^3 - x^2 + 4x - 2$$

Итак, мы получили уравнение четвертой степени: $6x^4 - x^3 - x^2 + 4x - 2 = 0$.

Удвоенная сумма корней уравнения: Для нахождения суммы корней воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения четвертой степени вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ сумма всех его корней ($x_1, x_2, x_3, x_4$) вычисляется по формуле $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$. В нашем уравнении коэффициенты $a = 6$ и $b = -1$. Следовательно, сумма корней равна:$$S = -\frac{-1}{6} = \frac{1}{6}$$По условию задачи нам необходимо найти удвоенную сумму корней, то есть $2S$.$$2S = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$Ответ: $\frac{1}{3}$