Номер 5, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите среднее арифметическое корней

уравнения

$\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1.$

а) 1,5;

б) 2;

в) -2;

г) 0,5;

д) 1.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что выражение $x^2 - x$ повторяется в нескольких местах.

1. Введение новой переменной.

Пусть $y = x^2 - x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$\frac{y}{y + 1} - \frac{y + 2}{y - 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$y + 1 \neq 0 \implies y \neq -1$

$y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$

2. Решение уравнения относительно $y$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(y + 1)(y - 2)$:

$\frac{y(y - 2) - (y + 2)(y + 1)}{(y + 1)(y - 2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ:

$y(y - 2) - (y + 2)(y + 1) = (y + 1)(y - 2)$

Раскроем скобки:

$(y^2 - 2y) - (y^2 + y + 2y + 2) = y^2 - 2y + y - 2$

$y^2 - 2y - y^2 - 3y - 2 = y^2 - y - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$-5y - 2 = y^2 - y - 2$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$y^2 - y - 2 + 5y + 2 = 0$

$y^2 + 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 = -4$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$ (не равны -1 и 2).

3. Обратная замена и нахождение корней $x$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 0$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Случай 2: $y = -4$

$x^2 - x = -4$

$x^2 - x + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$

Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

4. Проверка корней по ОДЗ исходного уравнения.

Знаменатели исходного уравнения не должны быть равны нулю:

$x^2 - x + 1 \neq 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

$x^2 - x - 2 \neq 0$. Решим $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x=2$ и $x=-1$. Значит, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Найденные нами корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$ удовлетворяют этим условиям.

5. Нахождение среднего арифметического корней.

Корни уравнения: 0 и 1.

Среднее арифметическое корней равно их сумме, деленной на их количество:

$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Этот результат соответствует варианту ответа г).

Ответ: г) 0,5