Номер 20, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.20. Найдите, при каких значениях аргумента графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ совпадают:

a) $f(x) = \log_7 (x^3 + x^2 - 6x)$, $g(x) = \log_7 (x + 3) + \log_7 (x^2 - 2x)$;

б) $f(x) = \log_3 (x^3 - 5x^2 + 4x)$, $g(x) = \log_3 (1 - x) + \log_3 (4x - x^2)$.

a) Чтобы графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ совпадали, необходимо, чтобы их области определения были одинаковы и чтобы для любого $x$ из этой области выполнялось равенство $f(x) = g(x)$.

Даны функции:

$f(x) = \log_{7}(x^3 + x^2 - 6x)$

$g(x) = \log_{7}(x + 3) + \log_{7}(x^2 - 2x)$

1. Найдем область определения функции $f(x)$, обозначим ее $D(f)$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^3 + x^2 - 6x > 0$

Разложим на множители:

$x(x^2 + x - 6) > 0$

$x(x + 3)(x - 2) > 0$

Решая данное неравенство методом интервалов, находим $D(f)$: $x \in (-3, 0) \cup (2, +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x)$, обозначим ее $D(g)$. Так как $g(x)$ является суммой логарифмов, аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x^2 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x(x - 2) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $D(g)$: $x \in (-3, 0) \cup (2, +\infty)$.

3. Области определения $D(f)$ и $D(g)$ совпадают. Теперь проверим, выполняется ли равенство $f(x) = g(x)$ на этой общей области определения. Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ для функции $g(x)$:

$g(x) = \log_{7}((x + 3)(x^2 - 2x)) = \log_{7}(x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x) = \log_{7}(x^3 + x^2 - 6x)$

Видно, что $g(x) = f(x)$ на всей общей области определения.

Следовательно, графики функций совпадают при всех $x$ из их общей области определения.

Ответ: $x \in (-3, 0) \cup (2, +\infty)$.

б) Даны функции:

$f(x) = \log_{3}(x^3 - 5x^2 + 4x)$

$g(x) = \log_{3}(1 - x) + \log_{3}(4x - x^2)$

1. Найдем область определения $D(f)$:

$x^3 - 5x^2 + 4x > 0$

$x(x^2 - 5x + 4) > 0$

$x(x - 1)(x - 4) > 0$

Решая методом интервалов, получаем $D(f)$: $x \in (0, 1) \cup (4, +\infty)$.

2. Найдем область определения $D(g)$:

$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ 4x - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x(4 - x) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $D(g)$: $x \in (0, 1)$.

3. Для совпадения графиков нужно найти общую область определения $D = D(f) \cap D(g)$:

$D = ((0, 1) \cup (4, +\infty)) \cap (0, 1) = (0, 1)$

4. Проверим равенство функций на этой области. Преобразуем $g(x)$:

$g(x) = \log_{3}((1 - x)(4x - x^2)) = \log_{3}(4x - x^2 - 4x^2 + x^3) = \log_{3}(x^3 - 5x^2 + 4x)$

На общей области определения $D = (0, 1)$ имеем $f(x) = g(x)$.

Следовательно, графики функций совпадают при всех $x$ из их общей области определения.

Ответ: $x \in (0, 1)$.