Номер 23, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.23. Вычислите:

a) $f'(5)$, если $f(x) = 2\ln x - \ln 5$;

б) $f'(1)$, если $f(x) = 3^x \cdot \log_3 x$;

в) $f'(2)$, если $f(x) = x^3 - \ln x^2$;

г) $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$, если $f(x) = \ln \sin x$.

а) Дана функция $f(x) = 2\ln x - \ln 5$.
Найдем ее производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования разности и стандартную производную натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Слагаемое $\ln 5$ является константой, поэтому его производная равна нулю.
$f'(x) = (2\ln x - \ln 5)' = 2(\ln x)' - (\ln 5)' = 2 \cdot \frac{1}{x} - 0 = \frac{2}{x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 5$:
$f'(5) = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

б) Дана функция $f(x) = 3^x \cdot \log_3 x$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 3^x$ и $v(x) = \log_3 x$. Их производные равны: $u'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$ и $v'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.
Применяем правило произведения:
$f'(x) = (3^x)' \cdot \log_3 x + 3^x \cdot (\log_3 x)' = (3^x \ln 3) \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$f'(1) = (3^1 \ln 3) \cdot \log_3 1 + 3^1 \cdot \frac{1}{1 \cdot \ln 3}$.
Так как $\log_3 1 = 0$, первое слагаемое обращается в ноль:
$f'(1) = 0 + \frac{3}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3}$.
Ответ: $\frac{3}{\ln 3}$.

в) Дана функция $f(x) = x^3 - \ln x^2$.
Для упрощения дифференцирования преобразуем функцию, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:
$f(x) = x^3 - 2\ln x$.
Теперь найдем производную функции, используя производную степенной функции и логарифма:
$f'(x) = (x^3 - 2\ln x)' = (x^3)' - (2\ln x)' = 3x^2 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{2}{x}$.
Вычислим значение производной в точке $x = 2$:
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - \frac{2}{2} = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$.
Ответ: 11.

г) Дана функция $f(x) = \ln(\sin x)$.
Для нахождения производной используем цепное правило (производная сложной функции). Пусть внутренняя функция $u(x) = \sin x$, тогда $f(x) = \ln(u(x))$.
Производная сложной функции вычисляется как $f'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x)$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$.
Вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: 1.