Номер 16, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.16. Докажите, что функция:

a) $y = \log_3(7 - x^2) + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\log_2|x|}$ является четной;

б) $y = \frac{\sin5x}{\log_3|x|} \cdot \log_7(10 - x^2)$ является нечетной.

а) Для доказательства того, что функция $y = \log_3(7 - x^2) + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\log_2|x|}$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = y(x)$.

1. Найдем область определения функции $D(y)$.

Функция определена, если выполнены следующие условия:

• Аргумент логарифма $\log_3(7 - x^2)$ должен быть больше нуля: $7 - x^2 > 0 \implies x^2 < 7 \implies -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$.
• Аргумент логарифма $\log_2|x|$ должен быть больше нуля: $|x| > 0 \implies x \neq 0$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_2|x| \neq 0 \implies |x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем область определения: $D(y) = (-\sqrt{7}; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; \sqrt{7})$.
Эта область определения симметрична относительно нуля, так как для любого $x$ из $D(y)$ значение $-x$ также принадлежит $D(y)$. Первое условие выполнено.

2. Проверим выполнение второго условия $y(-x) = y(x)$.

Подставим $-x$ в исходную функцию:

$y(-x) = \log_3(7 - (-x)^2) + \frac{\cos(\frac{-x}{3})}{\log_2|-x|}$

Упростим выражение, используя свойства функций:

• $(-x)^2 = x^2$.
• Функция косинуса является четной: $\cos(-a) = \cos(a)$, поэтому $\cos(\frac{-x}{3}) = \cos(\frac{x}{3})$.
• Модуль числа: $|-x| = |x|$.

Подставляем упрощенные части обратно в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = \log_3(7 - x^2) + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\log_2|x|}$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Так как оба условия четности функции выполняются, данная функция является четной, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является четной.

б) Для доказательства того, что функция $y = \frac{\sin 5x}{\log_3|x|} \cdot \log_7(10 - x^2)$ является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметрична относительно начала координат.
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = -y(x)$.

1. Найдем область определения функции $D(y)$.

Функция определена, если выполнены следующие условия:

• Аргумент логарифма $\log_3|x|$ должен быть больше нуля: $|x| > 0 \implies x \neq 0$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_3|x| \neq 0 \implies |x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
• Аргумент логарифма $\log_7(10 - x^2)$ должен быть больше нуля: $10 - x^2 > 0 \implies x^2 < 10 \implies -\sqrt{10} < x < \sqrt{10}$.

Объединяя все условия, получаем область определения: $D(y) = (-\sqrt{10}; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; \sqrt{10})$.
Эта область определения симметрична относительно нуля. Первое условие выполнено.

2. Проверим выполнение второго условия $y(-x) = -y(x)$.

Подставим $-x$ в исходную функцию:

$y(-x) = \frac{\sin(5(-x))}{\log_3|-x|} \cdot \log_7(10 - (-x)^2)$

Упростим выражение, используя свойства функций:

• Функция синуса является нечетной: $\sin(-a) = -\sin(a)$, поэтому $\sin(5(-x)) = \sin(-5x) = -\sin(5x)$.
• Модуль числа: $|-x| = |x|$.
• $(-x)^2 = x^2$.

Подставляем упрощенные части обратно в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{-\sin(5x)}{\log_3|x|} \cdot \log_7(10 - x^2)$

Вынесем знак "минус" за все выражение:

$y(-x) = - \left( \frac{\sin 5x}{\log_3|x|} \cdot \log_7(10 - x^2) \right)$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $y(x)$, видим, что $y(-x) = -y(x)$.

Так как оба условия нечетности функции выполняются, данная функция является нечетной, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является нечетной.