Номер 14, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.14. Определите знак значения выражения:

а) $\lg(\lg5)$;

б) $\log_{0,3} (\log_{3} 5)$.

Для определения знака значения выражения необходимо последовательно проанализировать каждый логарифм, исходя из свойств логарифмической функции в зависимости от ее основания и аргумента.

Общие правила для знака логарифма $log_a(x)$:

• Если основание $a > 1$: логарифм положителен ($>0$) при $x > 1$ и отрицателен ($<0$) при $0 < x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$: логарифм отрицателен ($<0$) при $x > 1$ и положителен ($>0$) при $0 < x < 1$.

а) $lg(lg5)$

1. Сначала рассмотрим внутреннее выражение $lg5$. Это десятичный логарифм, его основание равно $10$. Так как основание $10 > 1$ и аргумент $5 > 1$, то значение $lg5$ положительно.

2. Оценим величину $lg5$. Мы знаем, что $lg(1) = 0$ и $lg(10) = 1$. Поскольку $1 < 5 < 10$, то, логарифмируя по основанию 10, получаем $lg(1) < lg(5) < lg(10)$, что равносильно $0 < lg5 < 1$.

3. Теперь рассмотрим внешнее выражение $lg(lg5)$. Его основание также равно $10$ ($>1$), а аргументом является число $lg5$, которое, как мы выяснили, находится в интервале $(0, 1)$.

4. Согласно правилу, для логарифма с основанием больше $1$, если его аргумент находится между $0$ и $1$, значение логарифма отрицательно.

Следовательно, $lg(lg5) < 0$.

Ответ: Знак выражения отрицательный.

б) $log_{0,3}(log_3{5})$

1. Начнем с внутреннего выражения $log_3{5}$. Основание $3 > 1$ и аргумент $5 > 1$, следовательно, значение $log_3{5}$ положительно.

2. Оценим его значение. Так как $3^1 < 5 < 3^2$, то, логарифмируя по основанию 3, получаем $log_3(3^1) < log_3(5) < log_3(3^2)$, откуда следует, что $1 < log_3{5} < 2$.

3. Таким образом, аргумент для внешнего логарифма, $log_3{5}$, является числом, большим единицы.

4. Теперь рассмотрим все выражение $log_{0,3}(log_3{5})$. Основание этого логарифма, $0,3$, находится в интервале $(0, 1)$. Аргумент, как мы установили, больше $1$.

5. Согласно правилу, для логарифма с основанием меньше $1$, если его аргумент больше $1$, значение логарифма отрицательно.

Следовательно, $log_{0,3}(log_3{5}) < 0$.

Ответ: Знак выражения отрицательный.