Номер 21, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.21. Найдите область определения, множество значений функции $f(x) = \sin^2 \left( \lg \frac{1 - x}{4 + x^2} \right) + \cos^2 \left( \lg \frac{1 - x}{4 + x^2} \right) - 2x$ и постройте ее график.

Данная функция: $f(x) = \sin^2\left(\lg\frac{1-x}{4+x^2}\right) + \cos^2\left(\lg\frac{1-x}{4+x^2}\right) - 2x$.

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В данном случае, аргумент $\alpha = \lg\frac{1-x}{4+x^2}$.

Таким образом, сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, и функция принимает более простой вид:

$f(x) = 1 - 2x$.

Это упрощение справедливо только в области определения исходной функции, которую мы найдем далее.

Область определения функции $D(f)$ находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\frac{1-x}{4+x^2} > 0$

Знаменатель дроби, $4+x^2$, всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $4+x^2 \ge 4$.

Поскольку знаменатель всегда положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был также положителен:

$1 - x > 0$

$1 > x$ или $x < 1$.

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, меньшие 1.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 1)$.

Теперь найдем множество значений функции $f(x) = 1 - 2x$ с учетом ее области определения $x \in (-\infty, 1)$.

Функция $f(x) = 1 - 2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения.

Чтобы найти множество значений $E(f)$, рассмотрим поведение функции на границах интервала $(-\infty, 1)$:

• Когда $x$ стремится к $1$ слева ($x \to 1^-$), значение функции стремится к $f(1) = 1 - 2(1) = -1$. Так как $x < 1$, то $f(x) > -1$.
• Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), значение функции $1-2x$ стремится к плюс бесконечности ($+\infty$).

Таким образом, функция принимает все значения от $-1$ (не включая) до $+\infty$.

Ответ: $E(f) = (-1, +\infty)$.

Графиком функции $f(x) = 1 - 2x$ на области определения $x < 1$ является луч.

Для построения найдем координаты нескольких точек:

• Точка пересечения с осью OY: при $x = 0$, $y = 1 - 2(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Точка пересечения с осью OX: при $y = 0$, $0 = 1 - 2x$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Точка $(\frac{1}{2}, 0)$.

Граница луча находится в точке, где $x=1$. Значение функции в этой точке было бы $y = 1 - 2(1) = -1$. Так как $x < 1$, эта точка $(1, -1)$ не принадлежит графику и изображается "выколотой" (пустым кружком).

Ответ:

График функции представляет собой луч, начинающийся в точке $(1, -1)$ (не включая ее) и проходящий через точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(0, 1)$.