Номер 18, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

Для построения графика функции $y = |\log_2 x|$ выполним следующие шаги:

1. Строим график базовой функции $y_1 = \log_2 x$. Это стандартный график логарифмической функции с основанием больше 1. Он проходит через точку $(1, 0)$, возрастает на всей области определения ($x > 0$) и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.
2. Применяем преобразование модуля ко всей функции: $y = |y_1|$. Это означает, что та часть графика $y_1 = \log_2 x$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражается относительно этой оси, а та часть, что находится выше или на оси, остается без изменений.
3. Для функции $y_1 = \log_2 x$:
   • На интервале $(0, 1)$ значения функции отрицательны ($y_1 < 0$). Эту часть кривой мы отражаем вверх. Например, точка $(1/2, -1)$ перейдет в точку $(1/2, 1)$.
   • При $x \ge 1$ значения функции неотрицательны ($y_1 \ge 0$). Эта часть графика остается на своем месте.

Ответ: График функции $y = |\log_2 x|$ получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения его части, лежащей на интервале $(0, 1)$, относительно оси Ox. График полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет вертикальную асимптоту $x = 0$, к которой он стремится при $x \to 0^+$. Точка "излома" графика находится в точке пересечения с осью Ox — $(1, 0)$. Область определения: $x > 0$. Область значений: $y \ge 0$.

Для построения графика функции $y = \log_2 |x|$ выполним следующие шаги:

1. Сначала рассмотрим случай, когда $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_2 x$. Строим график этой функции для положительных значений $x$.
2. Далее применим преобразование модуля к аргументу: $y = f(|x|)$. Функция $y = \log_2 |x|$ является четной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
3. Таким образом, чтобы получить весь график, мы берем часть, построенную в шаге 1 (для $x > 0$), и симметрично отражаем ее относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = \log_2|x|$ симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух ветвей. Правая ветвь (при $x > 0$) совпадает с графиком $y = \log_2 x$. Левая ветвь (при $x < 0$) является ее зеркальным отражением относительно оси Oy. График имеет одну вертикальную асимптоту $x = 0$ и пересекает ось Ox в двух точках: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений: $(-\infty, +\infty)$.

Построение этого графика состоит из двух последовательных преобразований:

1. Шаг 1: Построение графика $y_1 = \log_2(x-1)$. Этот график получается из графика базовой функции $y = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
   • Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
   • Вертикальная асимптота смещается в $x=1$.
   • Точка пересечения с осью Ox находится из условия $\log_2(x-1) = 0$, откуда $x-1 = 1$, то есть $x=2$. Точка $(2, 0)$.
2. Шаг 2: Построение графика $y = |\log_2(x-1)|$. Применяем преобразование модуля ко всей функции $y_1$. Часть графика $y_1$, расположенная ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси.
   • На интервале $(1, 2)$ функция $y_1 = \log_2(x-1)$ отрицательна. Эту часть мы отражаем вверх.
   • При $x \ge 2$ функция $y_1$ неотрицательна. Эта часть остается без изменений.

Ответ: График функции $y = |\log_2(x-1)|$ получается из графика $y = \log_2 x$ сдвигом на 1 единицу вправо и последующим отражением части графика, лежащей на интервале $(1, 2)$, относительно оси Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и точку "излома" $(2, 0)$ на оси Ox. Область определения: $x > 1$. Область значений: $y \ge 0$.

Построение этого графика включает три преобразования:

1. Шаг 1: Построение графика $y_1 = \log_2|x|$. Как и в пункте б), это симметричный относительно оси Oy график с двумя ветвями и вертикальной асимптотой $x=0$.
2. Шаг 2: Построение графика $y_2 = \log_2|x| - 2$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
   • Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
   • Найдем точки пересечения с осью Ox: $\log_2|x| - 2 = 0 \implies \log_2|x| = 2 \implies |x| = 2^2 = 4$. Таким образом, точки пересечения: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.
3. Шаг 3: Построение графика $y = |\log_2|x| - 2|$. Применяем преобразование модуля ко всей функции $y_2$. Части графика $y_2$, расположенные ниже оси Ox, отражаются вверх.
   • Функция $y_2$ отрицательна, когда $\log_2|x| < 2$, то есть $|x| < 4$. Это соответствует интервалам $(-4, 0)$ и $(0, 4)$. Эти части графика отражаются симметрично относительно оси Ox.
   • При $|x| \ge 4$ функция $y_2$ неотрицательна, и эти части графика остаются без изменений.

Ответ: График функции $y = |\log_2 |x| - 2|$ симметричен относительно оси Oy. Он получается из графика $y = \log_2|x|$ сдвигом на 2 единицы вниз и последующим отражением частей, оказавшихся ниже оси Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Он касается оси Ox в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$, которые являются точками "излома". При $x$, стремящемся к 0, $y$ стремится к $+\infty$. Область определения: $x \neq 0$. Область значений: $y \ge 0$.